初中数学中考复习 专题7 利用三边关系求线段和差或线段最值问题-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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（1）定直线l上一动点与异侧两点所连线段之和最小
说明：当PO为直线AB与l的交点时，此时PA+PB最小
定直线l上一动点与同侧两点所连线段之和最小（将军饮马问题）
当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
说明：作B关于l的对称点B′，连接A B′交l于点P，此时PA+PB最小
【方法指引】：我们利用三角形三边关系来求解两点之间的最值问题，往往需要我们构造一个三角形，这个三角形是是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” ．
说明：“化折为直”是我们解决问题的根本．
（3）两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【方法指引】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
（4）两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【方法指引】作点B关于直线的对称点B’，因为BP=B’P，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
方法讲解
线段和差是初中阶段比较重要的一类问题，在选择、填空、压轴题和相应解答题中都有出现过，那么在处理相应线段和差问题时，我们要学会找到相应知识解决问题，可以从以下模型来进行考虑有关线段差的最大值与线段和的最小值问题所涉及的原理:
两点之间线段最短；
三角形的两边之和大于第三边（两线段和的最小值）；
（3）三角形的两边之差小于第三边（两线段差的最大值）。
典例剖析
类型一：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之和最小
例1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．
【分析】连接DE，利用轴对称可知PB=PD，所以PB＋PE=EP+PD，在△BEP中，利用三边关系，可知当点E，P，D在一条直线上时，PB+PE有最小值．
类型二：动态问题下构造三边关系来求最值
例2．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为 ．
【分析】连接DF、BD，由DF＞BD﹣BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．
类型三：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之差最大
例3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA﹣PB≤AB；
（3）当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝2，可得B点坐标；
（2）当A、B、P三点共线时，PA﹣PB＝AB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；
（3）通过分析可知，PA﹣PB最大时，A、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y＝0，可得P点坐标．
类型四：定直线上一动点与异侧两定点所连线段之差最大
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 2
【分析】在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，将PA、PB转到一个三角形中，利用三角形三边关系即可求得。
专题突破
1.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A．B．C．9D．
2.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A．B．C．D．
3.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
4.如图：两点A、B在直线MN外的同侧，AB＝5，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 ．
5．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，连接BD、CE交于点O．则线段AO的最大值是 ．
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A，B分别在平面直角坐标的x，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标为
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP，连接BA，则BA长度的最小值是________________.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．
9．如图，M、N是边长为6的正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF．
（1）求证：DE＝BE；
（2）判断DE与AM的位置关系，并证明；
（3）判断线段CF是否存在最小值？若存在，求出来，若不存在，说明理由．
10.如图，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边三角形ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
11．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：FB＝FD；
（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．
12.（2020·郯城县第三中学初三月考）如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
专题七：利用三边关系求线段和差或线段最值问题答案
例1.解：如图：
连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，
PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，
∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
DE＝
＝
＝10．
∴PB+PE的最小值为10．
例2．如图，连接DF、BD，
由图可知，DF＞BD﹣BF，
当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4、BC＝6，
∴BD2，
由折叠性质知AB＝BF＝4，
∴线段DF长度的最小值为BD﹣BF＝24，
故答案为：24．
例3.（1）解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，
令x＝0得y＝2．
∴B（0，2）
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2+3
∴A（﹣2，3）
（2）证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
PA﹣PB＝AB．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，PA﹣PB＜AB．
综合上述：PA﹣PB≤AB
（3）解：作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA﹣PB最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由（1）可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，
∴OP＝4，
故P（4，0）．
注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．
例4.∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，
∴BC＝20－12＝8，
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，
如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，
∴PA－PB＝PC－PB，
在△PBC中PC－PB＜BC
当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B.
专题突破答案
1.解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故选A．
2.如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=，
在Rt△DMH中，DM===，
∵CM∥AD，
∴==，
∴P′M= DM=．
故选A．
3.解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，
当P,M,N'三点共线时，取“＝”,
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6，
∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，
∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
，
∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，
，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º，
∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，
∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.
4.解：延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA﹣PB|＝5为最大．
故答案为：5．
5．解：∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
把△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△FOC，
∴CF＝AB＝4，∠AOF＝90°，
∴△AOF为等腰直角三角形，
∴OA＝AF，
∵AC+CF≥AF（当且仅当A、C、F三点共线时取等号），
∴AF的最大值为2+4＝6，
∴OA的最大值为3．
故答案为3．
6.由E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，
此时OE=BE=AB=1，由勾股定理得：CE==2，
OC=1+2=3，即BE=CE，
∵∠CBE=90°，
∴∠ECB=30°，∠BEC=60°，
∴∠AEO=60°，
∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，
∴AE=OE，
∴△AOE等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠COB=90°-60°=30°，
∴CF=OC=×3=，
由勾股定理得：OF===，
所以点C的坐标是（，）．
7.在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4，
由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，
当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值，
∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
8.解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，∴，
又∵轴，
∴，∴，
∵
∴，即
把点 代入的得，
∴反比例函数的解析式为：．
答：反比例函数的解析式为：．
（2）过点作垂足为，
∵，，
∴，∴，
∴，
则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，
设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点
答：点的坐标为．
9．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝BAE，又AE为公共边，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE．
（2）结论：互相垂直．
理由：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AM＝BN，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠DAM＝∠CBN
由（1）知DE＝BE，又CD＝CB，CE为公共边，
∴△DCE≌△BCE（SSS），
∴∠CDE＝∠CBE
∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°
∴∠DAF+∠ADF＝90°
∴∠DFA＝180°﹣90°＝90°
即DE⊥AM．
（3）存在最小值．如图，取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO＝AD＝3，
在Rt△OCD中，
OC＝，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值为OC﹣OF＝．
10.在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．
由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴DE=BD，
∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，
∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，
∴BD的最大值为6；
11．（1）证明：如图1中，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD＝90°，BA＝AD，
∴∠FAD＝∠FAB＝45°，
∵AF＝AF，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DF．
（2）①结论：AH⊥BF，理由：如图2中，连接CD．
∵∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝AB＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE，
∴△ABH≌△DCE（SAS），
∴∠BAH＝∠CDE，
∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AH⊥BF．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．
∵∠ANN＝90°，AO＝OB，
∴ON=AB＝1，
在Rt△OBC中，OC==，
∵CN≥OC﹣ON，
∴CN≥－1，
∴CN的最小值为－1．
12.（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．