初中数学中考复习 专题08 四边形综合（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题08 四边形综合（解析版），共25页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
专题08 四边形综合
一 填空题
1. (无锡市四席联考一模)在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(    )
A. AC=BD，AB//CD，AB=CD
B. AD//BC，∠A=∠C
C. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D. AO=CO，BO=DO，AB=BC
【解析】：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选：C．
2. (唐山市遵化市一模)边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数-2，C点表示数6，则BD=(    )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【解析】：∵A点表示数-2，C点表示数6，
∴AC=8，
∵AD=5，
∴BD=252-42=6，
故选：B．
3.（天津市河北区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【解析】：连接CE，如图所示
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝6﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，

解得：x＝，
即DE＝；
故选：D．
4. (无锡市四席联考一模)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC-CD-DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是(    )
A. 55 B. 30 C. 16 D. 15
【解析】：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=5时，y开始不变，说明BC=5，x=11时，接着变化，说明CD=11-5=6．
∴△ABC的面积为=12×6×5=15．
故选：D．
5．（天津市河北区一模）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（　　）
A．10 B．8﹣3 C．6+3 D．3+5
【解析】：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP+PM＝C′P+PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝＝＝8．
∴CP+PM的最小值是8﹣3．
故选：B．
6．（芜湖市一模）在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，若AD＝AB＝3，则S△ADF＝（　　）

A．2 B．3 C．3 D．
【解析】：∵AD＝AB＝3，
∴AB＝，AD＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝，
∵在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，
∴BE＝AB＝，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝3﹣，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣3，
∴S△ADF＝AD•DF＝×3×（2﹣3）＝3﹣．
故选：C．
7.（淮北市名校联考一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E是BC上一动点，连接AE，DE，将△ABE和△CDE分别沿AE、DE折叠到△AB'E和△C'DE的位置，若折叠后B'E与C'E恰好在同一条直线上，如图，则BE的长是(    )
A. 2 B. 8 C. 4或6 D. 2或8
【解析】：∵将△ABE和△CDE分别沿AE、DE折叠到△AB'E和△C'DE的位置，
∴∠AEB=∠AEB'，∠CED=∠C'ED，
∴∠AED=∠AEB'+∠C'ED=12∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CED，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴ABEC=BECD，
设BE=x，则CE=10-x，∴410-x=x4，
解得：x1=2，x2=8，
∴BE的长是2或8，故选：D．
8.（广东省北江实验学校一模）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN ， 以上结论中，正确的个数有（　）个.

A.1      B.2       C.3     D.4
【解析】把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF
∵∠EAF＝45°
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°
∴∠EAH＝∠EAF＝45°
在△AEF和△AEH中 {AH＝AF∠EAH＝∠EAF＝45°AE＝AE
∴△AEF≌△AEH（SAS）
∴EH＝EF
∴∠AEB＝∠AEF
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，
故②正确
∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，
∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH
∴∠ANM＝∠AEB
∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；
故③正确，
∵AC⊥BD
∴∠AOM＝∠ADF＝90°
∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO
∴△OAM∽△DAF
故①正确
连接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME
∴△AMN∽△BME
∴ AMBM＝MNME
∴ AMMN＝BMME
∵∠AMB＝∠EMN
∴△AMB∽△NME
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∵∠EAN＝45°
∴∠NAE＝NEA＝45°
∴△AEN是等腰直角三角形
∴AE＝ 2AN
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME
∴△AMN∽△AFE
∴ MNEF=ANAE=12
∴ EF=2MN
∴ SΔAMNSΔAFE=MN2EF2=1(2)2=12
∴S△AFE＝2S△AMN
故④正确
故答案为：D.
9.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=的点P的个数是（ ）

A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
【解析】作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM．
∵正方形ABCD中，边长为，∴AC=×=15，
∵点E，F是对角线AC的三等分点，
∴EC=10，FC=AE=5，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，∴EM=，
∴在BC边上，只有一个点P满足PE+PF=，
同理：在AB，AD，CD边上都存在一个点P，满足PE+PF=，
∴满足PE+PF=的点P的个数是4个．

故选B．

二 填空题
10.（广东省北江实验学校一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，把△ABC沿着AC向上翻折得到△AEC，EC交AD边于点F，则点F到AC的距离是________.

【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝90°，
∴∠FAC＝∠ACB，
∵把△ABC沿着AC向上翻折得到△AEC，
∴∠ACB＝∠FCA，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴AF＝CF，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝ AB2+BC2=45 ，
在Rt△FDC中，CF2＝CD2+DF2 ，
∴AF2＝16+(8﹣AF)2 ，
∴AF＝5
∵S△AFC＝ 12 ×AC×点F到AC的距离＝ 12 ×AF×CD＝10
∴点F到AC的距离＝ ，
11. （天津市河北区一模）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为　 　．

【解析】：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三点共线，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，
∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，
故答案为：2+2．
12. (无锡市四席联考一模)如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB//CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y=kx恰好经过BC的中点E，则k的值为______．

【解析】：如图所示：

∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OBOD=OAOC，
若OBOD=OAOC=m，
由OB=m⋅OD，OA=m⋅OC，
又∵S△OAB=12⋅OA⋅OB，S△OCD=12⋅OC⋅OD，
∴S△OABS△OCD=12OA⋅OB12OC⋅OD=OA⋅OBOC⋅OD=m2⋅OC⋅ODOC⋅OD=m2，
又∵S△OAB=8，S△OCD=18，
∴m2=818，
解得：m=23或m=-23(舍去)，
设点A、B的坐标分别为(a,0)，(b,0)，
∵OAOC=OBOD=23，
∴点C的坐标为(-32a,0)，
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为(b2,-34a)，
又∵点E在反比例函数y=kx(k>0)上，
∴k=b2⋅(-34a)=-38ab=-38×(-16)=6，
故答案为6．
13（南通市崇川区启秀中学一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为______．






【解析】：连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC=DA，DC=DF，
∴DA=DF，
在△DAO和△DFO中
DA=DFOA=OFDO=DO
∴△DAO≌△DFO(SSS)
∴∠A=∠DFO，
∵∠A=90°，
∴∠DFO=90°，
又∵∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFO=∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE=x，则OE=OF+EF=1+x，BE=2-x，OB=1，
∵∠OBE=90°，
∴12+(2-x)2=(1+x)2，
解得，x=23，
即CE的长为23，
故答案为：23．

14.(无锡市四席联考一模)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为______．




【解析】：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=1，∠ABD=30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A'B'=AB=1，∠A'B'D=30°，
当B'C⊥A'B'时，A'C+B'C的值最小，
∵AB//A'B'，AB=A'B'，AB=CD，AB//CD，
∴A'B'=CD，A'B'/​/CD，
∴四边形A'B'CD是矩形，
∠B'A'C=30°，
∴B'C=33，A'C=233，
∴A'C+B'C的最小值为3，
故答案为：3．
15.（天津市河北区一模）．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为　 　．

【解析】：∵在矩形ABCD中，AD＝5，MD＝1，
∴AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，
连接MO并延长交BC于P，
则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，
∵AM∥CP，
∴∠MAO＝∠PCO，
∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，
∴△AOM≌△COP（ASA），
∴AM＝CP＝4，OM＝OP，
∴PB＝5﹣4＝1，
过M作MN⊥BC于N，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，
∴PN＝5﹣1﹣1＝3，
∴MP＝＝，
∴OM＝＝．
故答案为．

三 简答题
16.（合肥168中一模）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a>1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．
【解析】：①如图，a=4，

②如图，a=52，

③如图，a=43，

④如图，a=53，

17.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：
正方形ABCD内点的个数

1

2

3

4

．．．

n
分割成三角形的个数

4

6

_____

_____

．．．

_____

（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．
【解析】（1）有1个点时，内部分割成4个三角形；
有2个点时，内部分割成4+2=6个三角形；
有3个点时，内部分割成4+2×2=8个三角形；
有4个点时，内部分割成4+2×3=10个三角形；
…
以此类推，有n个点时，内部分割成4+2×(n−1)=(2n+2)个三角形，
填表如下：
正方形ABCD内点的个数

1

2

3

4

．．．

n
分割成三角形的个数

4

6

___8__

___10__

．．．

____2n+2_

故答案是：8，10，2n+2；
（2）不能，理由如下：
理由如下：由(1)知2n+2=2021，
解得：n=1009.5，不是整数，不符合题意，
∴原正方形不能被分割成2021个三角形．
18.(江西省初中名校联盟一模)如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE．
求证：△ABE∽△DEF．


【解析】：设AB=4，
在正方形ABCD中，
AB=AD=CD=4，∠A=∠D=90°
∴DF=1，AE=ED=2，
∴AEAB=DFED=12，
∴△ABE∽△DEF．
19.(江西省初中名校联盟一模) (2)如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥BA，交BA的延长线于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，求证：DE=DF．





【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，且∠E=∠F=90°，BD=BD，
∴△BDE≌△BDF(AAS)
∴DE=DF．
20.（广东省北江实验学校一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）当EF⊥BD时，求AE的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，
又∵O是BD中点，
∴OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（ASA）
（2）连接BE.

∵EF⊥BD，O为BD中点，
∴EB＝ED，
设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AB＝3cm，
根据勾股定理得：AB2+AE＝BE2 ， 即9+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ 78 ，
∴AE的长是 78 cm.
21.(无锡市四席联考一模)如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：CF=AD；
(2)若CA=CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．


【解析】(1)∵AB/​/CF，
∴∠EAD=∠EFC，∠ADE=∠FCE，
∵E是CD的中点，∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC∠ADE=∠ECFDE=EC，
∴△ADE≌FCE，
∴AD=CF．
(2)结论：四边形CDBF是矩形．
理由：∵AD=CF，
∵CD是AB边上的中线，
∴AD=BD，
∴BD=CF．
又∵BD//CF，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵CA=CB，AD=BD，
∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°
∴四边形CDBF是矩形．
22.（淮北市名校联考一模）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
(1)求证：△BAD≌△AEC；
(2)若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．

【解析】(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE//BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE=∠B，
在△DBA和△EAC中
AB=AC∠B=∠EACBD=AE，
∴△DBA≌△EAC(SAS)；
(2)过A作AG⊥BC，垂足为G.设AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，
∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，
则AB=2x，
∴BG=3x，
又∵BD=10．
∴BG-DG=BD，即3x-x=10，
解得AG=x=103-1=53+5，
∴S平行四边形ABDE=BD⋅AG=10×(53+5)=503+50
23.（南通市崇川区启秀中学一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE=EF．

(1)求(AF+1)(CE+1)的值；
(2)探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．
【解析】(1)设CE=x，AF=y，则DE=1-x，DF=1-y，
∵AF+CE=EF，
∴EF=x+y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∴EF2=DE2+DF2，即(x+y)2=(1-x)2+(1-y)2，
∴xy+x+y=1，
∴(AF+1)(CE+1)=(y+1)(x+1)=xy+x+y+1=1+1=2；
(2)∠EBF的度数为定值，理由如下：
如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．
由旋转，可得：AB=CB，BF=BM，AD=CM，∠ABF=∠CBM，∠BCM=∠A=90°，
∴∠BCM+∠BCD=90°+90°=180°，
∴点M、C、E在同一条直线上．
∵AF+CE=EF，CM+CE=EM，
∴EF=EM．
在△BEF和△BEM中，BF=BMBE=BEEF=EM，
∴△BEF≌△BEM(SSS)，
∴∠EBF=∠EBM=∠CBM+∠CBE=∠ABF+∠CBE，
又∵∠ABC=90°，∠ABC=∠EBF+∠ABF+∠CBE，
∴∠EBF=12∠ABC=45°．
24. (唐山市遵化市一模)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF//BA交PQ于点F，连接AF．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形．
(3)若ED=6，AE=10，则菱形AECF的面积是多少？


【解析】(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线，
，∴AE=CE，AD=CD，
∵CF//AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，EAC=∠FCA ∠CFD=∠AED AD=CD 
∴△AED≌△CFD(AAS)；
(2)证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形；
(3)解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED=6，AE=10，
∴EF=2ED=12，AD=102-62=8．
∴AC=2AD=16，
∴菱形AECF的面积=12AC⋅EF=12×16×12=96．
25.（天津市河北区一模）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，点A（6，0），点C（0，4），点O（0，0）．点P是线段BC上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．
（Ⅰ）如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．

【解析】（Ⅰ）∵A（5，0），点C（0，3），∴OA＝6，OC＝4，
由翻折可知：∠OPC＝∠OPA，
∵BC∥OA，∴∠OPC＝∠OPA，
∴∠POA＝∠OPA，
∴OA＝PA＝6，
在Rt△PAB中，
∵∠B＝90°，AB＝4，PA＝6，
∴PB＝＝＝2，
∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2，
∴P（6﹣2，4）．
（Ⅱ）如图②，连接CC′交OP于D．

在Rt△OPC中，∵OC＝4，PC＝3，
∴OP＝＝＝5，
∵OP垂直平分线段CC′，
又∵OP•CD＝OC•PC，
∴CD＝，
PD＝，
∵PC＝PB，CD＝DC′，
∴BC′＝2PD＝．
26．（芜湖市一模）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．
（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为　 　；
（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；
（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．

【解析】：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝CG＝4，∠B＝90°，
∵AB＝CD＝2，
∴DG＝＝＝2，
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣2，
故答案为4﹣2．
（2）如图2中，
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，
∵点G在线段AE上，
∴∠AGC＝90°，
∵CA＝CA，CB＝CG，
∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．
∴∠ACB＝∠ACG，
∵AB∥CD
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，
在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝，
∴AH＝，GH＝＝＝．
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，最小值＝×OG×EG＝×2×（4﹣）＝4﹣．
当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大．最大值＝×E′G′×OG′＝×2×（4+）＝4+

综上所述，4﹣≤S≤4+．