初中数学中考复习 专题8　最值与定值问题

专题8　最值与定值问题

一、选择题

1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( D )

A．2    B．4    C．    D．2

解析：如图：由题意可知点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2.

2．(2019·玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( B )

A．5    B．6    C．7    D．8

解析：如图，MN最小值为OP－OF＝－1＝；当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝＋1＝，

∴MN长的最大值与最小值的和是6.

3．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( B )

A．2    B．4    C．5    D．10

解析：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.

由题意可求得CM＝BE＝4，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin ∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DH，

又∵CD＋DH≥CM，∴CD＋BD≥4，

∴CD＋BD的最小值为4.

二、填空题

4．(2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝____．

解析：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，可求点P的坐标为(0，)，点P到直线AB的距离是：(－1)×sin 45°＝×＝，由题意可求得AB＝3，

∴△PAB的面积是：＝.

5．(2019·陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为__2__．

解析：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，根据轴对称性质可知，

PN＝PN′，∴PM－PN＝PM－PN′≤MN′，当P，M，N′三点共线时，取“＝”，可求AN′＝6，∵BM＝6，∴CM＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN′＝90°，∵∠N′CM＝45°，∴△N′CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN′＝2，即PM－PN的最大值为2.

6．(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为__8__．

解析：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴＝，即＝，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8－x，易证△EDH≌△DCG(AAS)，

∴EH＝DG＝8－x，∴S△BDE＝BD·EH＝x(8－x)＝－(x－4)2＋8，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8.

三、解答题

7．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x－16)，求符合条件的点P.

解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x－16)，

∴x－16≠a(x0－3)2＋a(x0－3)－2a，

∴(x0－4)(x0＋4)≠a(x0－1)(x0－4)，∴(x0＋4)≠a(x0－1)，∴x0＝－4或x0＝1，∴点P的坐标为(－7，0)或(－2，－15)

8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E，F移动过程中：

(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；

(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

解：(1)∠EAF的大小没有变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝90°，又∵AH⊥EF，

∴∠AHE＝90°，∵AE＝AE，

∴Rt△BAE≌Rt△HAE(HL)，∴∠BAE＝∠HAE，

同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，

∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝(∠BAH＋∠HAD)＝∠BAD，又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小没有变化；

(2)△ECF的周长没有变化．理由如下：

∵由(1)知，Rt△BAE≌Rt△HAE，

△HAF≌△DAF，∴BE＝HE，HF＝DF，

∴C△EFC＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长没有变化．

9．将6张小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，求a，b满足的关系式．

(1)为解决上述问题，如图3，小明设EF＝x，则可以表示出S1＝________，S2＝________；

(2)求a，b满足的关系式，写出推导过程．

解：(1)a(x＋a)，4b(x＋2b)；

(2)解：由(1)知：S1＝a(x＋a)，S2＝4b(x＋2b)，

∴S1－S2＝a(x＋a)－4b(x＋2b)＝ax＋a2－4bx－8b2＝(a－4b)x＋a2－8b2，∵S1与S2的差总保持不变，

∴a－4b＝0.∴a＝4b.

10．(2019·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)在y轴上找一点P使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标；

(3)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2＝；把点B(a，－3)代入，可得a＝－5，∴B(－5，－3).把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，可得

解得∴一次函数的解析式为y1＝x＋2；

(2)一次函数的解析式为y1＝x＋2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P(0，2)，此时，

PB－PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝－2，∴C(－2，0)，∴BC＝＝3；

(3)当y1＞y2时，－5＜x＜0或x＞3.