2022-2023学年山东省东营市胜利一中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年山东省东营市胜利一中高三（上）期末数学试卷

1.  若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，则z的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为(    )

A. 28 B. 29 C. 30 D. 31

4.  已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为(    )

A.  B.  C. 1 D.

5.  若在是减函数，则a的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  电路从A到B上共连接着6个灯泡如图，每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数的单调递减区间是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题正确的是(    )

A.
B. 函数的最小正周期是
C. ，则
D. 若，则

10.  如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是(    )

A. 直三棱柱的侧面积是
B. 直三棱柱的外接球表面积是
C. 三棱锥的体积与点E的位置有关
D. 的最小值为

11.  已知椭圆C：与直线l：交于A，B两点，记直线l与x轴的交点E，点E，F关于原点对称，若，则(    )

A.
B. 椭圆C过4个定点
C. 存在实数a，使得
D.

12.  若a，，则下列选项中成立的是(    )

A.
B. 若，则
C. 的最小值为1
D. 若，则的最小值为
 

13.  已知，是两非零向量，且，则与的夹角为______.

14.  设函数，直线为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则______.

15.  函数图象的对称中心的坐标为______.

16.  若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.

17.  记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，
求的面积；
若，求

18.  已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是公比为的等比数列；②数列是公比为的等比数列；③

19.  如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF 是矩形，，，，，
证明：；
求直线AF与平面MBD所成角的正弦值．

20.  致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．

根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；

某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为每次抽奖互不影响，且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望．
参考公式：，
附表：

21.  已知椭圆的右焦点为F，点M，N在椭圆C上，且M，N，F三点共线．
若直线MN的倾斜角为，求的值；
已知点，，其中，，若直线MN不与坐标轴垂直，且点B到直线AM，AN的距离相等，求的值．

22.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为若不等式的解集为，
所以与3是方程的两个根，且，
所以，
所以可化为，
解得，
A，B，C，D四个选项中，只有选项D满足，
所以成立的一个必要不充分条件是D选项．
故选：
由题意可知，与3是方程的两个根，且，再利用韦达定理可得，代入所求不等式求解，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
，其的虚部为
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由，得，
所以，
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数 n为
故选：
依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；
本题考查了用累乘法求数列的通项公式，易错点在用累乘法求通项，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，
，
可得：，
球O的表面积为，
外接球的半径为：R；所以，解得，
所以O到平面ABC的距离为：
故选：
画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解即可．
本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：，
由，，
得，，
取，得的一个减区间为，
由在是减函数，
得
则a的最大值是
故选：
利用两角和差的正弦公式化简，由，，得，，取，得的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值．
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：电路从A到B上共连接着6个灯泡如图，每个灯泡断路的概率为，
整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，
则从A到B连通的概率是：

故选：
利用对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式能求出从A到B连通的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：线段的中点在y轴上
设P的横坐标为x，，
，；
与的横坐标相等，轴，
，
，
，，
，
，
故选：
由已知条件推导出轴，，，从而得到，由此能求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
 

8.【答案】D 

【解析】解：易知函数的定义域为，
令，即，
解得，结合定义域得，故函数的单调递减区间为
故选：
求出定义域，然后求导并令导数小于0，即可得到函数的单调递减区间．
本题考查导数在研究函数单调性中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】AD 

【解析】解：对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，，故，即函数的最小正周期为，即选项B错误；
对于选项C，，则，即选项C错误；
对于选项D，，则，故选项D正确，
故选：
由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解即可．
本题考查二倍角公式的灵活运用．重点考查了运算能力，属基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：在直三棱柱中，，，，
则，底面ABC和是等腰三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为，故A正确；
设底面外接圆半径为r，即，即，
所以直棱柱的外接球半径，
直三棱柱的外接球表面积为，故B正确；
由平面，且点E是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，
，，故C错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当E为的中点时，
取最小值，，故D正确．

故选：
由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；将直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断
本题主要考查空间几何体体积的计算，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：设，由得，
，则，
因为，所以，又，
所以，
所以，，故A正确；
所以，即椭圆过定点，，故B正确；
，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误．
故选：
联立椭圆与直线方程，根据直线与椭圆的位置关系逐项求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系．
 

12.【答案】AB 

【解析】解：本不等式可得，当时，有，当且仅当，即时，等号成立，
故当时，，所以A项正确；
因为，，则，当且仅当时等号成立，
则，即，
令，则，解得或舍去，
所以，即，B项正确；
因为a，，所以，
当且仅当，a不存在，无法取得等号，C项错误；
因为，，所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，D项错误．
故选：
根据基本不等式，求解判断各个选项即可．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
是等边三角形，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
四边形OACB是菱形，

故答案为：
作出平面图形，根据平面图形的几何性质即可得出结论．
本题考查了平面向量的线性运算，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期T大于，
，，
又直线为图象的对称轴，为的零点，
且，
，
将零点代入中，得，
，
又，
当时，，
故答案为：
依题意，可求得，，再结合题意对k赋值，可得答案．
本题考查正弦函数的周期性、对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
因为对称中心为，所以函数的对称中心为
故答案为：
把原函数解析式变形得到，利用因为对称中心为，即可求出答案．
考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力，考查合情推理的探究能力和创新精神．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，得
由，得或，则在区间和上单调递增，
由，得，则在区间上单调递减，
所以解得，
即实数a的取值范围是
故答案为：
对求导，利用导数求出函数的单调区间，结合已知可得关于a的不等式组，求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，即，
又，
，
，
或舍去，
，
故的面积；
，，
由正弦定理知，，
，解得 

【解析】根据已知条件，结合三角形的面积公式，余弦定理，推得ac，再结合三角形面积公式，即可求解；
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：选择①②为条件，③为结论，
由①可得，由②可得，
两边平方可得，
即为，
因为，等比数列的求和公式为，
所以，即
则①②③；
选择①③为条件，②为结论，
由题意可知，，
，
，，
，
则①③②；
选择②③为条件，①为结论，
由题意可知，
，
，当时，，，
，
，
数列是公比为的等比数列．
由②③可以证明①成立． 

【解析】可选择①②为条件，③为结论；选择①③为条件，②为结论；选择②③为条件，①为结论，运用等比数列的定义、通项公式和求和公式，可得证明．
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：在多面体ABCDEF中，四边形BCEF 是矩形，
，，，，
，，
，平面CDE，平面CDE，，
取AD中点O，连接BO，FO，如图，

则，，，，
，，，
又，，平面ADEF，
平面ADEF，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面MBD的法向量，
则，取，得，
设直线AF与平面MBD所成角为，
则直线AF与平面MBD所成角的正弦值为：
 

【解析】推导出，，从而平面CDE，，取AD中点O，连接BO，FO，推导出，，由，得平面ADEF，由此能证明
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面MBD所成角的正弦值．
本题考查线面平行的判定与性质、线面角的定义及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：补全列联表如表所示．

…………………………………………………………………………………………………分
因为，
因此没有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．………………………………………分
由题可知，X的所有可能取值为0，5，10，
且，……………………………………………………………………………分，，，……………………………………………………………分
所以X的分布列为：

则………………………………………………………分 

【解析】利用已知条件，补全列联表．求解，即可判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．
的所有可能取值为0，5，10，求解概率，得到X的分布列，然后求解期望．
本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．
 

21.【答案】解：依题意得，直线MN：
联立，消去y得………………………………………分
设，，则，
则………………………分
设直线MN：，，
由题意知，，且，………………………………………………分
设直线AM，AN的斜率分别为，，则
由点到直线AM，AN的距离相等，得
因为，在直线上，
所以，，
则…分
联立消去x，得，
则，
则，
即，故或舍去
故的值为……………………分 

【解析】求出直线MN：代入椭圆方程，设，，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．
设直线MN：，，设直线AM，AN的斜率分别为，，则结合韦达定理化简推出，求解的值．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 

22.【答案】解：当时，，则，
，
又，
所求切线方程为；
，
若，当时，，单调递增，则，不合题意；
故，，令，注意到，
令，解得或，令，解得，
在单调递减，在单调递增，且时，，
①若，当时，，单调递增，不合题意；
②若，，则存在，使得，
且当时，，单调递减，则，
当时，，，则由零点存在性定理可知在上存在一个根，
当时，，单调递减，，
当时，，，则由零点存在性定理可知在上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为 

【解析】将代入，对函数求导，求出及，由点斜式得答案；
对函数求导，分及讨论，当时容易判断不合题意，当时，令，利用导数判断的性质，进而判断得到函数的单调性并结合零点存在性定理即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．