2022-2023学年天津五十七中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年天津五十七中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)，共12页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 设a=30， 已知函数f=csx等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津五十七中高三（上）期末数学试卷1.  设全集，集合，，则(    )A.  B.
C.  D. 2.  设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.  函数的图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 4.  从一批零件中抽取80个，测量其直径单位：，将所得数据分为9组：…，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为(    )
 A. 10 B. 18 C. 20 D. 365.  若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知双曲线C：过点，且渐近线方程为，则双曲线C的方程为(    )A.  B.  C.  D. 7.  设，，，则a，b，c的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 8.  若，则(    )A.  B.  C. 1 D. 9.  已知函数给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是(    )A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③10.  i是虚数单位，复数______.11.  在的展开式，的系数是______.12.  已知直线和圆相交于A，B两点．若，则r的值为______.13.  圆与圆的公共弦长为______.14.  已知，，且，则的最小值为______.15.  P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为______.16.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，
求角C的大小；
求的值；
求的值．17.  如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
求证：；
求平面与平面所夹角的余弦值；
求直线AB与平面所成角的正弦值．
18.  已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，其中O为原点．
求椭圆的方程；
已知点C满足，点B在椭圆上异于椭圆的顶点，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.  .已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和20.  已知函数，为的导函数．
当时，
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间和极值；
当时，求证：对任意的，且，有
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：全集，集合，，
则，
，
故选：
进行补集、交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及补集、并集的运算．
 2.【答案】A 【解析】解：由，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：
解得a的范围，即可判断出结论．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：函数是奇函数，排除CD，
时，，排除B；
故选：
利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的值的情况，判断即可．
本题考查函数图象的判断，是基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：直径落在区间的频率为，
则被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为个，
故选：
根据频率分布直方图求出径径落在区间的频率，再乘以样本的个数即可．
本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
 5.【答案】C 【解析】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，
所以，
所以，
故选：
正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．
本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
 6.【答案】A 【解析】解：点代入双曲线，焦点在x轴上，渐近线方程为，所以，
解得，故双曲线的方程为
故选：
由点代入双曲线和渐近线方程，联立得到a，b，c的方程组，求解即可．
本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题．
 7.【答案】D 【解析】解：，，
则，
，
，
故选：
根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
 8.【答案】C 【解析】解：，，，
，
故选：
对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．
 9.【答案】C 【解析】解：函数；
对于①，的最小正周期为，故①错误；
对于②，当时是的最大值，故②正确；
对于③，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象，故③正确．
故选：
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：i是虚数单位，复数，
故答案为：
根据复数的运算法则即可求出．
本题考查了复数的运算，属于基础题．
 11.【答案】10 【解析】解：展开式的通项公式，，1，，5，
由得，
即的系数是，
故答案为：
求出展开式的通项公式，令x的次数为2进行求解即可．
本题主要考查二项展开式的应用，由展开式的通项公式求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
 12.【答案】5 【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径为r；
则圆心到直线的距离，
若，则有，
故；
故答案为：5
根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合直线与圆相交的性质可得，计算可得答案．
本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：设圆与圆交于A，B两点，
把两圆方程相减，化简得，
即：，
圆心到直线AB的距离，
又，弦长为：，
故答案为：，
先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解．
本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 14.【答案】4 【解析】解：，，且，则，
当且仅当，即，或， 取等号，
故答案为：4
由，利用基本不等式即可求出．
本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，
则


，
故答案为：
先进行向量的线性运算，再结合向量数量积运算求解即可．
本题考查了向量的线性运算，重点考查了向量数量积运算，属基础题．
 16.【答案】解：由余弦定理以及，，，
则，
，
；
由正弦定理，以及，，，可得；
由，及，可得，
则，
，
 【解析】根据余弦定理即可求出C的大小，
根据正弦定理即可求出的值，
根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
 17.【答案】证明：在三棱柱中，平面ABC，，
 建立如图所示的空间直角坐标系，
又，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点，
则，，，，，，，，，
则，，
则，
即，
即；
解：设平面的一个法向量为，
则，
则，
令，
则，，
则，
又平面的一个法向量为，
设与所成角为，
则，
即平面与平面所夹角为，
则平面与平面所夹角的余弦值为；
解：由可得，
则，
则直线AB与平面所成角的正弦值为 【解析】先建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后求证即可；
设平面的一个法向量为，则，则，又平面的一个法向量为，然后求解即可；
由可得，则，得解．
本题考查了空间向量的运算，重点考查了二面角的平面角大小的求法，属基础题．
 18.【答案】解：由已知可得，记半焦距为c，由可得，
由，可得，
椭圆的方程为，
：直线AB与C为圆心的圆相切于点P，
，
根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为，
由方程组，消去y可得，解得，或，
依题意可得点B的坐标为，
为线段AB的中点，点A的坐标为，
点P的坐标为，
由，可得点C的坐标为，
故直线CP的斜率为，
，
，
整理可得，
解得或，
直线AB的方程为或 【解析】根据可得，由，可得，即可求出椭圆方程；
根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．
本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，
则，，，
，，成等差数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
又由，
可得，解得，
，
由，可得，
则，
，
两式相减，
可得

，
 【解析】先设等比数列的公比为，再根据等比数列的通项公式和等差中项的性质列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步根据等比数列的求和公式计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和
本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，等差中项的性质，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 20.【答案】解：当时，，
故，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即；
，
，
令，解得，
当，，
当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为，无极大值；
证明：由，则，
对任意的，且，令，，
则
，

①，
令，
当时，，
在单调递增，
当，，即，
，
②，
由可知当时，，
即③，
由①②③可得，
当时，对任意的，且，有 【解析】根据导数的几何意义即可求出切线方程；
根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；
要证不等式成立，只要证明，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．
本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，考查了不等式的证明，属于难题．