所属成套资源:高一数学同步课件 同步练习(2019人教A版必修第二册)
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题,共5页。
课时跟踪检测 (五) 向量的数量积层级(一) “四基”落实练1.(多选)下列说法正确的是 ( )A.向量b在向量a上的投影是向量B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是C.(a·b)·c=a·(b·c)D.a·b=0,则a⊥b解析:选AB 对于选项A,根据投影向量的定义,故A正确;对于选项B,∵a·b=|a||b|cos θ<0,则cos θ<0,又∵0≤θ≤π,∴θ∈,故B正确;对于选项C,∵(a·b)·c与c是共线向量,a·(b·c)与a是共线向量,故(a·b)·c≠a·(b·c),故C错误;对于选项D,a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0,故D错误.故选A、B.2.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )A.4 B.3C.2 D.0解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.3.(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos〈a,a+b〉=( )A.- B.-C. D.解析:选D 由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|===7,所以cosa,a+b===,故选D.4.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b= ( )A.1 B.2C.3 D.5解析:选A 因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10,|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6,两式相减得:4a·b=4,所以a·b=1.5.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=,若n⊥(t m+n),则实数t的值为 ( )A.4 B.-4C. D.-解析:选B 由题意知,cos〈m,n〉===,所以m·n=|n|2=n2,因为n·(t m+n)=0,所以t m·n+n2=0,即t n2+n2=0,所以t=-4.6.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b方向上的投影向量为________.解析:∵a·b=|a||b|cos θ=12,又|b|=5,∴|a|cos θ=,=,即a在b方向上的投影向量为b.答案:b7.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=________.解析:因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·|b|cos 60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,所以|a|2-2|a|-24=0,所以|a|=6.答案:68.已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b且同向,求a·b;(2)若向量a,b的夹角为135°,求|a+b|.解:(1)若a∥b且同向,则a与b夹角为0°,此时a·b=|a||b|=.(2)|a+b|= = ==1.层级(二) 能力提升练1.如图,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|= ( )A.20 B.C.2 D.解析:选C 由题意,知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a +b=-2e1-4e2,所以|a+b|====2.故选C.2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 ( )A.8 B.-8C.8或-8 D.6解析:选A cos θ===-.∵θ∈[0,π],∴sin θ=,∴|a×b|=2×5×=8.故选A.3.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos〈a,c〉=________.解析:∵c2=(2a-b)2=4a2-4a·b+5b2=9,∴|c|=3.又∵a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,∴cos〈a,c〉==.答案:4.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值.(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?解:(1)|u|2=|a+tb|2=(a+tb)·(a+tb)=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2=|b|22+|a|2-.∵b是非零向量,∴|b|≠0,∴当t=-时,|u|=|a+tb|的值最小.(2)∵b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,∴b⊥(a+tb),即b⊥u.5.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.(1)求|b|;(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.解:(1)因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=,即|a|2-|b|2=,所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=.(2)因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=,所以cos θ==,又θ∈[0,π],故θ=.层级(三) 素养培优练1.下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图②所示,图②中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则·= ( )A.32 B.28C.26 D.24解析:选C 如图所示,建立以a,b为一组基底的基向量,其中|a|=|b|=1且a,b的夹角为60°,∴=2a+4b,=4a+2b,∴·=(2a+4b)·(4a+2b)=8a2+8b2+20a·b=8+8+20×1×1×=26.2.选择下列条件补充到题中横线上,并求k的取值范围.①锐角;②钝角.设{e1,e2}为标准正交基,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为________,试求k的取值范围.解:选择条件①锐角:∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=ke+ke+(k2+1)e1·e2=2k>0,∴k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围是(0,1)∪(1,+∞).选择条件②钝角:∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=ke+ke+(k2+1)e1·e2=2k<0,∴k<0.当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0).3.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问: 与的夹角取何值时, ·最大?并求出这个最大值.解:如图,设与的夹角为θ,则·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0°(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.
相关试卷
这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积及应用(含解析),共7页。试卷主要包含了综合练——练思维敏锐度,自选练——练高考区分度等内容,欢迎下载使用。
这是一份高中数学高考课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积及应用 作业,共7页。试卷主要包含了综合练——练思维敏锐度,自选练——练高考区分度等内容,欢迎下载使用。
这是一份课时跟踪检测(五) 组合与组合数公式,共4页。试卷主要包含了[多选]下列问题是组合问题的是,下列计算结果为21的是等内容,欢迎下载使用。