数学必修 第二册7.2 复数的四则运算同步达标检测题

课时跟踪检测  （十七）  复数的乘、除运算

层级(一)　“四基”落实练

1．若z＝4＋3i，则等于       (　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．－1

C.＋i  D.－i

解析：选D　因为z＝4＋3i，|z|＝5，所以＝4－3i，||＝|z|＝5，所以＝－i.

2.＝       (　　)

A．1＋2i  B．1－2i

C．2＋i  D．2－i

解析：选D　＝＝＝2－i.故选D.

3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是           (　　)

A．1＋i  B．1－i

C．－1＋i  D．－1－i

解析：选B　∵＝＝＝1＋i，

∴其共轭复数为1－i.

4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝          (　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：选B　因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.

5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于     (　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选D　∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.

6．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．

解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，

因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.

答案：2

7．(2019·浙江高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.

解析：∵z＝＝＝＝－i，

∴|z|＝ ＝.

答案：

8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

解析：＝＝＝，

根据已知条件可知3a－8＝0，解得a＝.

答案：

9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有

解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.

层级(二)　能力提升练

1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是         (　　)

A．复数z＝的虚部为

B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i

C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限

D．复数z满足∈R，则z∈R

解析：选ABD　对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．

2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.

解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.

答案：4i

3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______.

解析：∵实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，

∴其共轭复数1－i也是方程的根．

由根与系数的关系知

∴b＝－2，c＝3.

答案：－2　3

4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．

解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，

即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，

得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.

由复数相等得解得∴p＋q＝38.

5．已知复数z＝1＋i.

(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；

(2)若＝1－i，求实数a，b的值．

解：(1)因为z＝1＋i，

所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.

(2)因为z＝1＋i，

所以＝＝1－i，

即＝1－i，

所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，

所以解得

层级(三)　素养培优练

1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝       (　　)

A.　　　　　　　　　B.

C．2  D．3

解析：选A　由欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ有：eiπ＝cos π＋isin π＝－1.由(eiπ－z)·i＝1＋i，即(－1－z)·i＝1＋i.所以－1－z＝＝1－i，即z＝－2＋i，所以|z|＝＝.

2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是      (　　)

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3

B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|

D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

解析：选BC　由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当2＝z3时，则z2＝3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z3·13＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11⇒z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确．

3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.

由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①

因为复数0，z，对应的点构成正三角形，

所以|z－|＝|z|，

把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②

又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.

由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.