数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系综合训练题

课时跟踪检测 （二十九） 直线与直线垂直

层级(一)　“四基”落实练

1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有

             (　　)

A．1条　　　　　　　　　 B．2条

C．3条   D．4条

解析：选B　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.

2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，  B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于           (　　)

A．45°   B．60°

C．90°   D．120°

解析：选B　取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，所以IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.故选B.

3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是

AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是      (　　)

A．EF与BB1垂直

B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面

D．EF与A1C1异面

解析：选ABC　如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三

角形中位线定理可得EF∥A1C1，则EF，A1C1确定一个平面；显然EF与CD异面；由几何关系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，则EF⊥BB1，EF⊥BD.故选A、B、C.

4.(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是                                                                                                    (　　)

A．直线CC1与直线B1E相交

B．CC1与AE共面

C．AE与B1C1是异面直线

D．AE与B1C1垂直

解析：选ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选A、C、D.

5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　)

A．60°  B．75°

C．90°  D．105°

解析：选C　设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.

6.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是________．

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.

∴∠PAB是PA与CD所成的角．

又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.

答案：90°

7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．

解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，

∴MN＝5.

答案：5

8.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝  2.求：

(1)BC和A′C′所成的角；

(2)AA′和BC′所成的角．

解：(1)因为BC∥B′C′，

所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．

在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，

所以∠B′C′A′＝45°.

(2)因为AA′∥BB′，

所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

层级(二)　能力提升练

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成的角为                                                                                                                                            (　　)

A．30°  B．60°

C．90°  D．120°

解析：选C　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，取AB的中点P，连接B1P，则B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以异面直线C1M与BN所成的角为90°.故选C.

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是                                                                                                                                            (　　)

A．0°<θ<60°  B．0°≤θ<60°

C．0°≤θ≤60°  D．0°<θ≤60°

解析：选D　如图，连接CD1，AC.因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.

3.如图，若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________．

解析：∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角．连接BD，在Rt△D1DB中，

sin∠DD1B＝＝＝.

∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)．

连接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，   高为4，

∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2.

∴∠D1CB＝90°.

∴sin∠D1BC＝＝＝，

故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.

答案：　

4.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB， VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．

解：因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是  异面直线DE与AB所成的角．

又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，

于是∠ABC＝45°，

故异面直线DE与AB所成的角为45°.

5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：取AC的中点F，连接EF和BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，∠FEB(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角．

在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，

∴AB＝AC＝1.

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，

∴BE＝.

在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，

∴EF＝.

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.

在等腰三角形EBF中，

cos∠FEB＝＝＝，

所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

层级(三)　素养培优练

如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B与AD1所成的角为90°，试求AA1.

解：如图，连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，且A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形．

所以A1B∥CD1.

所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．

因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

所以∠AD1C＝90°.

易知△ACD1是等腰直角三角形，

所以AD1＝AC.

因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，

所以AC＝2×sin 60°×2＝6.

所以AD1＝AC＝3.

所以AA1＝

＝ ＝.