第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性

【知识点总结】

一、函数奇偶性

定义

设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.

性质

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数是偶函数函数的图象关于轴对称；

函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数在处有意义，则有；

偶函数必满足.

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.

对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.

（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

二、函数的单调性

定义

一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.

熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：

设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.

在上是减函数.

性质

对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.

若为增函数，且或），则为减函数.

若为减函数，且或），则为增函数.

复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

三、函数的周期性

定义

设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.

注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.

性质

若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.

有关函数周期性的重要结论（如表所示）

函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；

（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；

（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.

【典型例题】

例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．递增区间是 B．递减区间是

C．递增区间是 D．递增区间是

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（    ）

A．1 B．－1

C．±1 D．0

（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（    ）

A．的图象关于对称

B．的图象关于对称

C．

D．

例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义法证明在上是增函数；

（3）解关于x的不等式．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（　　）

A． B．(0，1) C． D．(0，3)

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（    ）

A．是奇函数，单调递增 B．是奇函数，单调递减

C．是偶函数，单调递减 D．是偶函数，单调递增

4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数，若，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的x取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（    ）

A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)

C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]

10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（    ）

A．f<f<f

B．f<f<f

C．f<f<f

D．f<f<f

11．（2022·上海宝山·一模）已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数

B．是偶函数，且在上是增函数

C．是奇函数，且在上是减函数

D．是偶函数，且在上是减函数

12．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（    ）

A．1 B．2 C． D．

13．（2022·全国·高三专题练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ）

A． B． C． D．

14．（2022·全国·高三专题练习）若函数，（a，）为奇函数，则的值为（　　）

A． B． C．1 D．4

15．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ）

A． B． C． D．

16．（2022·全国·高三专题练习）若为奇函数，当时，，则（    ）

A． B．1 C．3 D．

17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

18．（2022·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（　　）

A．﹣2x B．2﹣x C．﹣2﹣x D．2x

19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（    ）

A． B． C． D．

20．（2022·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

21．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ）

A． B．4 C． D．8

22．（2022·全国·高三专题练习（文））若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A．ex－e－x B． (ex＋e－x)

C． (e－x－ex) D． (ex－e－x)

23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数记为，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（    ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

25．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范固是（    ）

A． B． C． D．

26．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，则f（2021）等于（    ）

A．2 B．-18 C．18 D．-2

27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

28．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

29．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

30．（2022·全国·高三专题练习）已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（    ）

A．0 B． C．2 D．6

31．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在的函数，若为偶函数，且，则是（    ）

A．周期为2的奇函数 B．周期为4的奇函数

C．周期为2的偶函数 D．周期为4的偶函数

32．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则

A．是偶函数 B．是奇函数

C． D．是奇函数

33．（2022·全国·高三专题练习）若是偶函数，则一定有（    ）

A．b=0 B．ac=0

C．a=0且c=0 D．a=0，c=0且b≠0

34．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（    ）

A． B． C． D．

35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（    ）

A．5 B．-2 C．1 D．2

36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且，当时，，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

37．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（　　）

A． B． C． D．

38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，，恒有,且当时，,则

A．1 B．2 C．3 D．4

39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数对任意都有且成立，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

40．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：

①的图象关于对称；

②的图象关于对称；

③在内至少有个零点；

④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．

其中正确的是（    ）

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④

41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（    ）

A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称

C．的值域为 D．，且

43．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

44．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（    ）

A． B．周期为2

C．的图象关于直线对称 D．是奇函数

三、填空题

45．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为__________.

46．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．

47．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________

48．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为__________

49．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为__________

50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为________

51．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则______.

52．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，则的值等于__________

53．（2022·全国·高三专题练习）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．

54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则____

55．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为N，则________.

56．（2022·全国·高三专题练习）设函数的最大值为，最小值为，则_________.

57．（2022·全国·高三专题练习）函数（且），若，则______．

58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.

59．（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.

60．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为_____

61．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________

62．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．