第08讲 函数的应用-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

这是一份第08讲 函数的应用-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义，文件包含第08讲函数的应用解析版docx、第08讲函数的应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

第08讲 函数的应用
【知识点总结】
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，
又f(0)＜0，f（2）＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【答案】A
【详解】
因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
所以b＝－2a，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
故选：A
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
【详解】
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0.
故选：D.
例4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式得或，
所以函数的定义域为，
因为，
，，，，
所以，
所以根据零点的存在性定理得在区间上必有零点，
所以函数的零点一定位于区间内.
故选：C
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【详解】
当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故选：D.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数仅有一个零点，
所以与图像只有一个交点.
对于，求导得.令，得或.
所以当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增.
所以当时函数有极大值，当时函数有极小值.
作与的图像如下图所示.

由图可知，当与图像只有一个交点时，或，即或.
故选:D
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625

0.6321

0.2776
0.0897

那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89
【答案】B
【详解】
根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57
故选：B
例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，其中为时的药物浓度，为常数.已知给某患者注射某剂量为的药物后，测得不同时间药物浓度如下：

1.0
2.0

109.78
80.35
则该药物的的值大约为（ ）

A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356
【答案】B
【详解】
由题得，，
两式相除得，所以.
故选：B.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【分析】
转化条件为，解方程即可得解.
【详解】
函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】
根据函数零点的定义，令，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，即，解得，
即函数的零点为.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
【分析】
函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】
根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】
函数
当时，，设其零点为，则满足，解得；
当时，，设其零点为，则满足，解得；
所以零点之和为
故选:A.
【点睛】
本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
在同一坐标系中，作出指数函数，根据函数存在零点，利用数形结合法求解.
【详解】
如图所示：

指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则实数根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由解出或，根据解析式分别求出当和时的值，即可判断实数根的个数.
【详解】
做出图像如下：

或，
①若时，
⑴当，或，符合题意；
⑵当，，符合题意；
②若,
综上：共有3个实数根．
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：

1
2
3
4
5

1.4
3.5
5.4
－5.5
－6.7
则方程必存在有根的一个区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为函数的图象是连续的曲线，
且，，
所以，
根据零点存在性定理可得函数必定存在零点位于区间，
故方程必存在有根的一个区间是，
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】
，
令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，
所以可以取的一个区间是.
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则下列区间中，的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算，得出，根据零点存在定理可得选项.
【详解】
由函数，所以，
所以，所以函数所在零点的区间为，
故选：C.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理得出，代入可得选项.
【详解】
由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
【点睛】
本题考查零点存在定理，属于基础题.
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数的零点位于区间，上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用零点存在定理求得整数的值，进而可求得的值.
【详解】
易知函数单调递减，又因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内，则.
所以．
故选：D.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
因为为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可.
【详解】
因为、为增函数，
所以为增函数，
且，，，，
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】
因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
15．（2022·江苏·高三专题练习）若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用零点存在定理进行列不等式方程组，进而求解即可
【详解】
函数的两个零点，根据题意有，
，解得
故选：C
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的方程有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令（），则原方程等价于关于的一元二次方程在上有解，分离，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可.
【详解】
解：令（），则原方程等价于在上有解.
则a＝﹣﹣4 ＝﹣（t+）﹣4，
因为 t+≥4，所以﹣﹣4≤﹣8．当且仅当t＝2，即x＝时取等号．
所以a的范围为（﹣∞，﹣8]．
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题考查有关二次函数的复合函数的问题，先换元转化为一元二次方程有解的问题，然后再根据有解问题进行参变分离解题.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【分析】
按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【详解】
在上单调递增.
设近似值为，
由表格有，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查了二分法求近似根的解法步骤，在解题时要注意先判断该解区间是否单调，然后再进行计算，此类题计算量较大，要避免计算错误．属于基础题.
18．（2022·浙江·高三专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：












对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出散点图，结合图形可得出合适的函数模型.
【详解】
在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，

这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，
递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项．
故选：D.
19．（2022·浙江·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【答案】C
【分析】
根据食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，求出k、b，然后再将x＝33代入即可得出答案.
【详解】
解：由题意，得，即，
于是当x＝33时，＝24(小时).
故选：C.
20．（2022·全国·高三专题练习）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】B
【分析】
由可求得，将，，代入中，可求得增加分数，由此可得结果.
【详解】
由题意得：，；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分.
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习）为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（ ）(参考数据：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)
A．260 B．580 C．910 D．1200
【答案】C
【分析】
首先根据题意得到，再根据参考数据求解即可.
【详解】
，
因为，所以，
所以.
故选：C

二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
计算出各端点处的函数值，若两端一正一负即可判断出存在零点.
【详解】
，，
，，
，
根据零点的存在性定理可知和存在零点.
故选：AD.
【点睛】
本题考查零点的存在性定理，属于基础题.
23．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【分析】
转化为函数的图象与直线恰有两个交点，画出函数的图象，根据图象可得解.
【详解】
因为函数恰有2个零点，
所以函数的图象与直线恰有两个交点，
画出函数的图象如图：

由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．
故选：ABC．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.


三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）若函数的零点在区间上，则k的值为___________.
【答案】3
【分析】
利用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】
易知函数在其定义域（1，+∞）上连续不断，
而，，则函数的零点在区间（3，4）上，故k=3.
故答案为：3.
25．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
直线与曲线有四个交点等价于方程有四个解，即直线与函数的图象有四个交点，借助图形求解即得.
【详解】
直线与曲线有四个交点等价于方程，即有四个解，
等价于直线与函数的图象有四个交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，如图，

观察图象可知，当且仅当时，直线与函数图象有四个交点，
所以a的取值范围是：.
故答案为：
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】(0，1)
【分析】
画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，


由图可知k∈(0，1).
故答案为：
27．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．
【答案】2
【分析】
令，得到，将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们的交点个数，即得到的零点个数.
【详解】
函数的定义域为，
画出两个函数，的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．
故答案为2．

【点睛】
本题考查函数零点问题与交点问题的转化，数形结合的思想，属于简单题.
28．（2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字的数量级是3）.
【答案】19
【分析】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年走过的路程为，3500光年走过的路程为计算出结果即可.
【详解】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年有秒，光速，
一年走过的路程为
3500光年走过的路程为
数量级为19.
故答案为：19.
29．（2022·全国·高三专题练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________ min．
【答案】16
【分析】
根据所给函数模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得，然后令T0＝37℃，T＝29℃，求得．
【详解】
由题意知Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得37－21＝，∴h＝8．
令T0＝37℃，T＝29℃，则29－21＝，∴t＝16．
故答案为：16．