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第12讲 不等式大小关系及不等式的解法-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义
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第12讲 不等式大小关系及不等式的解法
【知识点总结】
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）
（1）（传递性，注意找中间量）
（2）（同向可加性）
（3）（同正可乘性，注意条件为正）
2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据
（1）.
（2）（对称性）
（3）（乘正保号性）
（4）
（5）（不等量加等量）
（6）（乘方保号性，注意条件为正）
（7）（开方保号性，注意条件为正）
（8）（同号可倒性）；.
三、一元一次不等式（）
（1）若，解集为.
（2） 若，解集为
（3）若，当时，解集为；当时，解集为
四、一元一次不等式组（）
（1），解集为.
（2），解集为
（3），解集为
（4），解集为
五、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
六、简单的一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.
例如，解一元高次不等式
（1）将最高次项系数化为正数
（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.
（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.
七、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
八、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】
A：若，则（），故A错误；
B：若，则，所以，所以B正确；
C：若，则，所以C错误；
D：若，则，故D错误.
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则
【答案】C
【详解】
当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时，，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．
故选：C．
例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由可得，利用完全平方可得
由可得，所以，
，，
综上，
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.
【答案】0
【详解】
由题意，得：，
且，2是方程的两根，
则，，
解得，，则.
故答案为：0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
由，得，得，
所以，
由，得，得，
所以，
因为是的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，即．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题的解答关键是将是的充分不必要条件转化为集合是的真子集.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
当时，不等式为有实数解，所以符合题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，
所以，
综上所述：的取值范围是，
故答案为：.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______
【答案】
【详解】
当时，不等式恒成立，所以符合题意；
当时，若关于的不等式恒成立，则，
解得：，
综上所述的取值范围为：，
故答案为：.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】
举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】
当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ）
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；
②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；
③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；
④∵a>b>0，∴0<<且c<0，∴，∴④正确．
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
【答案】B
【分析】
运用作差法进行比较即可得到答案.
【详解】
因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.
所以m≥n.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－3
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【答案】C
【分析】
先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.
【详解】
∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
故答案为C
【点睛】
（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.
【详解】
（1）若以①②为条件，③为结论.
则，因为，即，
故，即；则此时可以组成真命题；
（2）若以①③为条件，②为结论.
则由，即，结合，故可得.
则此时可以组成真命题；
（3）若以②③为条件，①为结论.
则由，即，结合，即可得.
则此时可以组成真命题.
故可以组成正确命题的个数是：.
故选：.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π
C．－< 2α－β < D．0 < 2α－β < π
【答案】C
【分析】
由不等式的同向可加性得到，结合将右侧范围进一步缩小，即可得到答案
【详解】
由知：
由知：
∴
又∵即
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围
9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简两个集合A、B，再对两个集合取并集.
【详解】
故
故选：C
10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解一元二次不等式求命题、对应x的范围，根据必要不充分条件列不等式求的取值范围即可.
【详解】
由题设，，，
∵是的必要不充分条件，
∴，解得.
故选：A
11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
对分两种情况讨论，结合二次函数的图象和性质求解.
【详解】
当时，，不符合题意，所以舍去；
当时，由题得且，所以.
综上：.
故选：C
12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分析可知关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值，即可得解.
【详解】
由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，且有，
由韦达定理可得，解得，因此，.
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D．
【答案】A
【分析】
化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】
原不等式，可化为，即，
结合分式不等式的解法，解得，即不等式的解集为.
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.
【详解】
由题意得，即，
根据对数函数的单调性得，解得，
所以集合，
解不等式得，故集合，
所以.
故选：B．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合、，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由可得，可得，所以集合，，所以.
故选：C.
16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过解不等式分别求出集合A，B，再求出.
【详解】
解不等式得，则；
解不等式得，则.
所以，.
故选：D.
17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式的解集是，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三个“二次”的关系即得.
【详解】
的解集是，
和是方程的解.
由根与系数的关系知，解得.
故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.
【详解】
根据原不等式可以推出，
因为不等式的解集为或，
所以，是方程的两根，且，所以.
故选:A
19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出不等式的解，由其中只有5个整数得出不等关系，从而求得参数范围．
【详解】
原不等式变形为，时，原不等式才有解．
且解为，
要使其中只有5个整数，则，解得．
故选：D．
20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】
由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】
根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.
【详解】
不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：D．
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
三、填空题
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，那么，，的大小关系为_____________.
【答案】
【分析】
利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.
【详解】
由，，
则，，，
又，
所以，
所以.
故答案为：
24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足，则、、中的最大数为______
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可得解.
【详解】
解：
两边同乘得，
两边同乘得，
所以
故、、中的最大数为
故答案为：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小：______（用“”或“”符号填空）．
【答案】
【分析】
因为两个数都是正数，所以平方后，再做差比较大小.
【详解】
解：，
故，
故，
故答案为：
26．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【分析】
作差，判断差的符号可得答案.
【详解】
因为,
又，，所以，所以，
故答案为：>.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据不等式的性质计算可得；
【详解】
解：解：，，
，
，
的取值范围是：．
故答案为：.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式的解集是________．
【答案】
【分析】
先由不等式化为，根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.
【详解】
因为不等式等价于，即，
解得：或；
故原不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查解不等式，熟记绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.
30．（2020·全国·高三专题练习）在上定义运算，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
根据定义的运算化简原不等式，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
即，不等式恒成立，
所以，即，
解得：，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】
由得，即，解得.
故答案为:
32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式的解集为，则函数的定义域是_______
【答案】
【分析】
先由不等式的解集得到满足的关系和条件，然后得到函数的表达式的具体形式，再根据对数函数的定义域，解分式不等式求得.
【详解】
由于关于x的不等式的解集为，
∴,，
∴,
由，解得或
∴函数的定义域为，
故答案为：.
33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.
【答案】
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式（）的解集为，
所以，是一元二次方程的实数根，
所以，且，.
又因为，
所以，
又，解得.
故答案为：.
34．（2021·江苏省苏州第十中学校高三阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】或
【分析】
先由不等式的解集为，判断出b=-6a,c=8a,把化为，即可解得.
【详解】
因为不等式的解集为，
所以a<0且2和4是的两根.
所以可得：，
所以可化为：，
因为a<0，所以可化为，
即，解得：或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
第12讲 不等式大小关系及不等式的解法
【知识点总结】
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）
（1）（传递性，注意找中间量）
（2）（同向可加性）
（3）（同正可乘性，注意条件为正）
2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据
（1）.
（2）（对称性）
（3）（乘正保号性）
（4）
（5）（不等量加等量）
（6）（乘方保号性，注意条件为正）
（7）（开方保号性，注意条件为正）
（8）（同号可倒性）；.
三、一元一次不等式（）
（1）若，解集为.
（2） 若，解集为
（3）若，当时，解集为；当时，解集为
四、一元一次不等式组（）
（1），解集为.
（2），解集为
（3），解集为
（4），解集为
五、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
六、简单的一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.
例如，解一元高次不等式
（1）将最高次项系数化为正数
（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.
（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.
七、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
八、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】
A：若，则（），故A错误；
B：若，则，所以，所以B正确；
C：若，则，所以C错误；
D：若，则，故D错误.
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则
【答案】C
【详解】
当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时，，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．
故选：C．
例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由可得，利用完全平方可得
由可得，所以，
，，
综上，
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.
【答案】0
【详解】
由题意，得：，
且，2是方程的两根，
则，，
解得，，则.
故答案为：0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
由，得，得，
所以，
由，得，得，
所以，
因为是的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，即．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题的解答关键是将是的充分不必要条件转化为集合是的真子集.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
当时，不等式为有实数解，所以符合题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，
所以，
综上所述：的取值范围是，
故答案为：.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______
【答案】
【详解】
当时，不等式恒成立，所以符合题意；
当时，若关于的不等式恒成立，则，
解得：，
综上所述的取值范围为：，
故答案为：.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】
举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】
当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ）
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；
②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；
③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；
④∵a>b>0，∴0<<且c<0，∴，∴④正确．
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
【答案】B
【分析】
运用作差法进行比较即可得到答案.
【详解】
因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.
所以m≥n.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－3
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【答案】C
【分析】
先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.
【详解】
∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
故答案为C
【点睛】
（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.
【详解】
（1）若以①②为条件，③为结论.
则，因为，即，
故，即；则此时可以组成真命题；
（2）若以①③为条件，②为结论.
则由，即，结合，故可得.
则此时可以组成真命题；
（3）若以②③为条件，①为结论.
则由，即，结合，即可得.
则此时可以组成真命题.
故可以组成正确命题的个数是：.
故选：.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π
C．－< 2α－β < D．0 < 2α－β < π
【答案】C
【分析】
由不等式的同向可加性得到，结合将右侧范围进一步缩小，即可得到答案
【详解】
由知：
由知：
∴
又∵即
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围
9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简两个集合A、B，再对两个集合取并集.
【详解】
故
故选：C
10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解一元二次不等式求命题、对应x的范围，根据必要不充分条件列不等式求的取值范围即可.
【详解】
由题设，，，
∵是的必要不充分条件，
∴，解得.
故选：A
11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
对分两种情况讨论，结合二次函数的图象和性质求解.
【详解】
当时，，不符合题意，所以舍去；
当时，由题得且，所以.
综上：.
故选：C
12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分析可知关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值，即可得解.
【详解】
由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，且有，
由韦达定理可得，解得，因此，.
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D．
【答案】A
【分析】
化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】
原不等式，可化为，即，
结合分式不等式的解法，解得，即不等式的解集为.
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.
【详解】
由题意得，即，
根据对数函数的单调性得，解得，
所以集合，
解不等式得，故集合，
所以.
故选：B．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合、，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由可得，可得，所以集合，，所以.
故选：C.
16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过解不等式分别求出集合A，B，再求出.
【详解】
解不等式得，则；
解不等式得，则.
所以，.
故选：D.
17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式的解集是，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三个“二次”的关系即得.
【详解】
的解集是，
和是方程的解.
由根与系数的关系知，解得.
故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.
【详解】
根据原不等式可以推出，
因为不等式的解集为或，
所以，是方程的两根，且，所以.
故选:A
19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出不等式的解，由其中只有5个整数得出不等关系，从而求得参数范围．
【详解】
原不等式变形为，时，原不等式才有解．
且解为，
要使其中只有5个整数，则，解得．
故选：D．
20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】
由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】
根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.
【详解】
不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：D．
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
三、填空题
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，那么，，的大小关系为_____________.
【答案】
【分析】
利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.
【详解】
由，，
则，，，
又，
所以，
所以.
故答案为：
24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足，则、、中的最大数为______
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可得解.
【详解】
解：
两边同乘得，
两边同乘得，
所以
故、、中的最大数为
故答案为：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小：______（用“”或“”符号填空）．
【答案】
【分析】
因为两个数都是正数，所以平方后，再做差比较大小.
【详解】
解：，
故，
故，
故答案为：
26．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【分析】
作差，判断差的符号可得答案.
【详解】
因为,
又，，所以，所以，
故答案为：>.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据不等式的性质计算可得；
【详解】
解：解：，，
，
，
的取值范围是：．
故答案为：.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式的解集是________．
【答案】
【分析】
先由不等式化为，根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.
【详解】
因为不等式等价于，即，
解得：或；
故原不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查解不等式，熟记绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.
30．（2020·全国·高三专题练习）在上定义运算，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
根据定义的运算化简原不等式，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
即，不等式恒成立，
所以，即，
解得：，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】
由得，即，解得.
故答案为:
32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式的解集为，则函数的定义域是_______
【答案】
【分析】
先由不等式的解集得到满足的关系和条件，然后得到函数的表达式的具体形式，再根据对数函数的定义域，解分式不等式求得.
【详解】
由于关于x的不等式的解集为，
∴,，
∴,
由，解得或
∴函数的定义域为，
故答案为：.
33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.
【答案】
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式（）的解集为，
所以，是一元二次方程的实数根，
所以，且，.
又因为，
所以，
又，解得.
故答案为：.
34．（2021·江苏省苏州第十中学校高三阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】或
【分析】
先由不等式的解集为，判断出b=-6a,c=8a,把化为，即可解得.
【详解】
因为不等式的解集为，
所以a<0且2和4是的两根.
所以可得：，
所以可化为：，
因为a<0，所以可化为，
即，解得：或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
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