第13讲 基本不等式-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第13讲 基本不等式

【知识点总结】

1. 几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).

特例：同号）.

（3）其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2. 均值定理

已知.

（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

【典型例题】

例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

设，可得圆的半径为，

又由，

在直角中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

又，

，令，

则，

，即，当且仅当时，取等号，

的取值范围是，．

故选：A．

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（     ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝，

代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，

所以a＋b＋c的最小值为8.

故选：D

例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（    ）

A．， B． C．， D．

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

即，当且仅当，即时取“”，

所以的取值范围是，.

故选：A.

例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【详解】

∵点在直线上，

∴，

所以

当且仅当时，等号成立

故选：C.

例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.

故选：A

例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【详解】

由，可得，

，

当且仅当且，即时等号成立．

故选：C．

例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

解：因为，所以，

即，则，

所以，又，所以，所以最大为3.

故选：C.

例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为、，由已知可得，

因为，当且仅当时等号成立，

故实数的取值范围为，

故选：D．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（    ）

A．6 B．8 C．16 D．36

【答案】D

【分析】

利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可

【详解】

因为，故，当且仅当，即时取等号，故

故选：D

【点睛】

均值不等式：

一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立

2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（    ）

A．如果，那么；

B．如果，那么；

C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；

D．如果，，那么．

【答案】C

【分析】

设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.

【详解】

设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.

图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.

由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.

故选：C.

3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】

应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.

【详解】

A：当时，有，故不等式不一定成立；

B：当，即时，有，故不等式不一定成立；

C：恒成立；

D：当时，有，故不等式不一定成立；

故选：C

4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．-1

【答案】D

【分析】

将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；

【详解】

，

当且仅当,即等号成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.

5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

【答案】D

【分析】

构造基本不等式即可得结果.

【详解】

∵，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.

6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8

【答案】A

【分析】

由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立⇔m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．

【详解】

解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，

∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），

∵不等式m2+7m成立，

∴m2+7m≤8，

求得﹣8≤m≤1．

故选：A．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．10 D．16

【答案】B

【分析】

根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.

【详解】

由，可得，

当且仅当取等号，

故选：B

8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．16 C．9 D．6

【答案】A

【分析】

根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.

【详解】

因为均为正实数，

所以，当且仅当，即时取等号.

因此的最小值为.

故选：A.

【点睛】

易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将已知条件化简得到，然后将变换成，然后化简整理结合均值不等式求解即可.

【详解】

由，有，所以，

则，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：D.

10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数的取值范围即可.

【详解】

∵正数满足，

∴，，

当且仅当，即，时，等号成立，

∴，即对任意实数恒成立，

∴，解得．

故选：A．

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由得，再利用基本等式“1”的代换进行求解.

【详解】

由得，

，

当且仅当，即时取等号，

故选：D.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

二、多选题

12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】

利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案.

【详解】

对于选项A：，所以，当且仅当时等号成立，故选项A正确；

对于选项B：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B不正确；

对于选项C：，故选项C正确；

对于选项D：因为，所以，，当且仅当时等号成立，故选项D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.

①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.

【答案】④

【分析】

结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.

【详解】

因为（当且仅当a＝b时，等号成立），

即≤2，ab≤4，，故①③不成立；

，故②不成立；

故④成立.

故答案为：④.

14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______

【答案】

【分析】

即可求得最值.

【详解】

，故，则，

当且仅当即时取“=”，

故答案为：.

15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________．

【答案】2

【分析】

利用基本不等式进行转化即可得解.

【详解】

由，得 ，

当且仅当时等号成立，

∴ ，即，

∴ 的最大值为．

故答案为：2

16．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.

【答案】

【分析】

根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.

【详解】

解：函数（且）的图象恒过定点A，

，

点A在直线上，

，

又，，

，

，当且仅当，即时等号成立，

所以mn的最大值为，

故答案为：.

17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______．

【答案】

【分析】

将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

因为，所以，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最小值为_________

【答案】

【分析】

将展开利用基本不等式即可求解.

【详解】

因为，

所以

，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为______．

【答案】18

【分析】

等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．

【详解】

解：已知，，且．

，即：．

则，

当且仅当，时取等号，

所以的最小值为18．

故答案为：18．

20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】

首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.

【详解】

由得，

所以，

当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

21．（2022·上海·高三专题练习）若，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．

【答案】

【分析】

将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.

【详解】

当时，，，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，函数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题.

23．（2022·全国·高三专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．

【答案】8

【详解】

解：由题意可得： ，则：

，

当且仅当 时等号成立，即：的最小值是8.

点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．

【答案】

【分析】

将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.

【详解】

函数

，

当，由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

当时，由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的值域为，

故答案为.

【点睛】

本题考查求具体函数的值域，属于简单题.

25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数满足，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】

利用基本不等式，即可求解.

【详解】

解：

，

即，(当且仅当，即时，取等号)

故答案为：

26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.

【答案】4    48   

【分析】

设，则，则，结合基本不等式即可得解.

【详解】

解：设，则，则，

则，

当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．

即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.

故答案为：4；48.