第24讲 平行垂直问题-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义
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第24讲 平行垂直问题
【知识点总结】
1.证明空间中直线、平面的平行关系
(1)证明直线与平面平行的常用方法:
①利用定义,证明直线与平面没有公共点,一般结合反证法证明;
②利用线面平行的判定定理,即线线平行线面平行.辅助线的作法为:平面外直线的端点进平面,同向进面,得平行四边形的对边,不同向进面,延长交于一点得平行于第三边的线段;
③利用面面平行的性质定理,把面面平行转化成线面平行;
(2)证明面面平行的常用方法:
①利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合;
②利用面面平行的判定定理;
③利用两个平面垂直于同一条直线;
④证明两个平面同时平行于第三个平面.
(3)证明线线平行的常用方法:①利用直线和平面平行的判定定理;②利用平行公理;
2.证明空间中直线、平面的垂直关系
(1)证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高;
②勾股定理逆定理;
③菱形对角线互相垂直;
④直径所对的圆周角是直角;
⑤向量的数量积为零;
⑥线面垂直的性质();
⑦平行线垂直直线的传递性(∥).
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义;
②线面垂直的判定();
③面面垂直的性质();
平行线垂直平面的传递性(∥);
⑤面面垂直的性质().
(3)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理().
【典型例题】
例1.(2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习(文))如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(1)求证:平面PAD;
(2)求三棱锥C-PBD的体积.
【解析】
(1)连接,如下图所示:
因为为中点,且底面ABCD是边长为2的正方形,
所以为中点,
又因为为中点,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)取的中点,连接,如下图所示:
因为PA=PD=AD,所以且,
从而,则,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面,平面,
所以平面,
因为的面积,
所以的体积,
故三棱锥C-PBD的体积.
例2.(2021·海南·海港学校高三阶段练习)如图,在四棱锥中,平面,∥,,,分别是棱的中点.
(1)求证:∥平面.
(2)求证:平面⊥平面.
【解析】
(1)设,连接,,
∥,,是棱的中点, ∥,,
四边形为平行四边形,是棱的中点,∥,
又平面,平面,∥平面.
(2)(方法一)⊥平面,平面,.
∥,,是棱的中点, ∥,,
四边形为平行四边形,∥,.
,四边形为菱形,,
平面,平面,平面,
又平面,平面⊥平面.
(方法二)连接,
平面,平面,
∥,,
平面,平面,,
是棱的中点, ,
由(1)可知,,,
又是棱的中点, ,
平面,平面,平面.
又平面,平面⊥平面.
例3.(2021·广西河池·高一阶段练习)如图,四边形ABED为梯形,,,平面ABED,M为AD中点
(1)求证:平面⊥平面PBM
(2)探究在PD上是否存在点G,使得平面PAB,若存在求出G点,若不存在说明理由.
【解析】
(1)证明:连接,因为,,为的中点,所以四边形为菱形,所以,因为平面ABED,平面ABED,所以,因为,面,所以平面,又平面,所以平面平面;
(2)解:当为的中点时,平面,
证明:如图连接,,因为为的中点,为的中点,所以,平面,平面,所以平面,由(1)可知,平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面,因为平面,所以平面;
例4.(2021·山东潍坊·高二阶段练习)如图,已知在长方体中,,,分别为,,的中点,为线段上非端点的动点,且,,设而与底面的交线为直线,
(1)证明:;
(2)当时,证明:为平面的一条垂线.
【解析】
(1)连结,因为,为,的中点,
所以.
又因为,
所以,
又因为平面,平面,
所以平面,
又因为平面,平面平面,
所以.
(2)连接,,
,同理可得,
因为,所以,
同理,
又因为,所以平面,
所以为平面的一条垂线.
【技能提升训练】
1.(2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习)如图,P为平行四边形所在平面外一点,,分别是,的中点,平面平面于直线.
(1)判断与平面的位置关系,并证明你的结论;
(2)判断与的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1)平面,证明见解析;(2),证明见解析.
【分析】
(1)取PD中点E,连接AE,NE,可得,且,又M为AB中点,可得,且,所以四边形AMNE为平行四边形,可得,根据线面平行的判定定理,可证平面.
(2)根据线面平行的判定定理,可证平面,又平面PBC,结合题意,根据线面平行的性质定理,可证.
【详解】
(1)平面,证明如下:
取PD中点E,连接AE,NE,
因为N,E分别为PC,PD中点,
所以,且,
又M为AB中点,,,
所以,且,
所以四边形AMNE为平行四边形,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2),证明如下:
因为,平面,平面,
所以平面,
又平面PBC,且平面平面,
根据线面平行的性质定理可得.
2.(2021·江苏·南京市中华中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面是菱形,分别为,,的中点.
(1)求证:平面;
(2)记平面与底面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)直线面,证明见解析.
【分析】
(1)证明,利用线面平行的判定定理即可求证;
(2)由三角形中位线性质可得:,可证明面,由线面平行的性质定理可得,由线面平行的判定定理即可证明直线面.
【详解】
(1)因为分别为,的中点,所以,
因为底面是菱形,所以,所以,
因为平面,平面,
所以平面,
(2)直线与平面平行,证明如下:
因为分别为,的中点,
所以,
因为面,面,所以面,
因为平面与底面的交线为,面,
由线面平行的性质定理可得,
因为,所以,
因为面,面,
所以直线面.
3.(2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习(文))如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA = AB,点F是PB的中点,点E在边BC上运动.
(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.
【答案】(1)EF//面PAC,理由见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)当点E为BC的中点时,EF//面PAC,可由线面平行的判定定理给出证明;
(2)转化为证明AF⊥平面PBC即可.
【详解】
(1)当点E为BC的中点时,EF//平面PAC. 理由如下:
∵点E,F分别是BC,PB的中点,∴EF//PC,
又平面,平面,∴EF//平面PAC.
(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,平面,∴BC⊥PA,
又四边形ABCD是矩形,∴BC⊥AB,又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
又平面,∴ AF⊥BC.
又PA = AB,点F是PB的中点,
∴AF⊥PB,又PB∩BC=B,
∴AF⊥平面PBC ,又平面, ∴AF⊥PE.
所以,无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.
4.(2021·贵州·高二学业考试)如图,在正方体中,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)判断与平面的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)平面,理由见解析.
【分析】
(1)利用正方形的性质可得出,由正方体的几何性质以及线面垂直的性质可得出,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;
(2)设,连接,利用中位线的性质可得出,再利用线面平行的判定定理可得出结论.
【详解】
(1)四边形是正方形,,
在正方体中,平面,
平面,,
,因此,平面;
(2)平面,理由如下:
证明:设,连接,
、分别为、的中点,,
平面,平面,因此,平面.
5.(2021·四川自贡·三模(文))如图1,由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形,其中AB=AE=DF=2,将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P,如图2.
(1)求四棱锥P﹣ABCD的体积;
(2)判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系,并说明理由.
【答案】(1);(2)l∥平面ABCD;答案见解析.
【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理证出AB⊥平面PAD,进而可得平面PAD⊥平面ABCD,从而求出P到AD的距离即为四棱锥P﹣ABCD的高,再有锥体的体积公式即可求解.
(2)根据线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD,再由线面平行的性质定理可得AB∥l,由线面平行的判定定理即可证明.
【详解】
解:(1)由图1可知,AB⊥AE,CD⊥DF,
则图2中,AB⊥PA,AB⊥PD,
∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,而AB⊂平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD,
又是边长为2的正三角形,
则P到AD的距离即为四棱锥P﹣ABCD的高,
∴;
(2)平面PAB和平面PCD的交线l∥平面ABCD.
理由如下:∵AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,
∴AB∥平面PCD,
AB⊂平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,∴AB∥l,
而AB⊂平面ABCD,l⊄平面ABCD,
∴l∥平面ABCD.
6.(2021·江苏·高一专题练习)如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,、分别是、的中点.
(1)证明:;
(2)判断直线和平面的位置关系,并加以证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)平面,证明见解析.
【分析】
(1)由题意及线面垂直的定理和定义先证平面,再证出;
(2)判断出平面,设的中点为,连接、,证明出四边形为平行四边形,可得出,利用线面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】
(1)由题意知,平面,平面,,
,,平面,
平面,;
(2)平面.
证明如下:设的中点为,连接、.
、分别是、的中点,且,
又且,故四边形为平行四边形,所以,且,
为的中点,则且,所以,且,
故四边形为平行四边形,则,
平面,平面,故平面.
【点睛】
方法点睛:常见的线面平行的证明方法有:
(1)通过面面平行得到线面平行;
(2)通过线线平行得到线面平行,在证明线线平行中,经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
7.(2021·全国·高二专题练习)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系,并说明理由.
【答案】平行,理由见解析.
【分析】
根据题意可取AD中点E,连接ME,NE,根据题知MEBD,NED1D,可得平面EMN平面BB1D1D,即面面平行,利用面面平行即可证明线面平行.
【详解】
如图,MN平面BB1D1D,
取AD中点E,连接ME,NE,
根据题知MEBD,NED1D,
因为平面EMN, ME⊂平面EMN,
所以平面EMN,同理平面EMN,
又,所以平面EMN平面BB1D1D,
因为MN⊂平面EMN,
故MN平面BB1D1D.
8.(2021·四川·石室中学高三期末(文))如图(1),在矩形中,,在边上,.沿,,将和折起,使平面和平面都与平面垂直,如图(2).
(1)试判断图(2)中直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若平面平面,证明平面.
【答案】(1),理由见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)连结,分别取,的中点,,连结,,,则由题意可得,,,而平面和平面都与平面垂直,所以平面,平面,得,进而得四边形为平行四边形,再利用平行公理可证得结论;
(2)由线面平行的判定定理可得面,再利用线面平行的性质定理可得,而由(1)可得平面,所以平面
【详解】
(1).理由如下:
连结,分别取,的中点,,连结,,,由图(1)
可得,与都是等腰直角三角形且全等,则,,
∵平面平面,交线为,平面,
∴平面.
同理得,平面,∴.
又∵∴四边形为平行四边形,
∴.
∵,分别是,的中点,∴
∴.
(2)∵,平面,平面
∴面
∵平面,面平面
∴
由(1)知平面,
∴平面.
9.(2020·北京·高一期末)如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,,,.
(1)求证:直线平面PNC;
(2)在AB上是否存在一点E,使平面PDE,若存在,确定E的位置,并证明,若不存在,说明理由;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)E是AB中点,证明见解析;(3).
【分析】
(1)在PC上取一点F,使,连接MF,NF,证明,,推出,即可得证;
(2)E是AB中点,证明,,利用线面垂直的判定定理即可证明平面PDE;
(3)证明为点到平面的距离,求出底面积,利用等体积法即可求解.
【详解】
(1)在PC上取一点F,使,连接MF,NF,因为,,所以,,,,
可得且.
所以MFNA为平行四边形,
即,
又平面,
所以直线平面.
(2)E是AB中点,证明如下:
因为E是AB中点,底面ABCD是菱形,,所以,
因为,所以, 即,
又平面ABCD,所以,
又,
所以直线平面PDE
(3)直线,且由(2)可知,DE为点A到平面PDC的距离,,
,
所以.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断,考查了等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.
10.(2020·福建·高二学业考试)如图,四棱锥中,底面是矩形,平面,且,.
(1)求四棱锥的体积;
(2)若分别是棱的中点,则与平面的位置关系是______,在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上,并说明理由.
①平面;
②平面;
③与平面相交.
【答案】(1)4;(2)②,理由见解析.
【分析】
(1)根据四棱锥体积公式直接计算;
(2)首先判断平面,要证明线面平行,需证明线线平行,取的中点,连接,.根据条件证明四边形是平行四边形.
【详解】
(1)因为平面,
所以.
(2)②,理由如下:
取的中点,连接,.
因为分别为,的中点,
所以,.
因为为的中点,所以,
又矩形中,,且,
所以,且,所以四边形是平行四边形.
所以.又平面,平面,
所以平面.
【点睛】
本题考查证明线面平行,几何体的体积,重点考查逻辑推理,空间想象能力,计算能力,属于基础题型.
11.(2021·广东·佛山一中高二期中)如图甲,直角梯形中,,,为中点,在上,且,已知,现沿把四边形折起(如图乙),使平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据线面平行的判定定理得出平面,同理平面,再根据面面平行的判定定理得出平面平面,最后由面面平行的性质从而可证出平面;
(2)根据题意,由面面垂直的性质得出,结合,再根据面面垂直的判定定理,即可证明平面平面.
(1)
证明:由题意知,平面,平面,
所以平面,同理平面,
∵,∴平面平面,
又平面,
∴平面.
(2)
证明:在图甲中,,,
∴,则在图乙中,,
又∵平面平面,平面平面,
∴平面,得,
又∵,,∴平面,
而平面, ∴平面平面.
12.(2022·上海长宁·高二期末)在矩形中,是的中点,是上,,且,如图,将沿折起至:
(1)指出二面角的平面角,并说明理由;
(2)若,求证:平面平面;
(3)若是线段的中点,求证:直线平面;
【答案】
(1)为二面角的平面角,理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
(1)根据,结合二面角定义得到答案.
(2)证明平面得到,得到平面,得到证明.
(3)延长,交于点,连接,证明即可.
(1)
连接,则,,故为二面角的平面角.
(2)
,,,故平面,平面,
故,又,,故平面,
平面,故平面平面.
(3)
延长,交于点,连接,易知,故
故是的中点,是线段的中点,故,
平面,且平面,故直线平面.
13.(2021·辽宁大连·高三学业考试)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,平面,、分别为、的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)证明:平面.
【答案】
(1);
(2)证明见解析.
【分析】
(1)利用条件可得,结合棱锥的体积公式即求;
(2)取的中点,可证四边形为平行四边形,再利用线面平行的判定定理即证.
(1)
证明:设与的交点为,
因为底面是边长为的菱形,所以,且,
因为,所以,
在中,,故,
所以.
因为平面,所以为三棱锥的高,
所以三棱锥的体积.
(2)
取的中点,连接、,
因为为的中点,所以且,
又因为为的中点,四边形为菱形,所以且.
所以且.
故四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,所以平面.
14.(2021·四川·乐山市教育科学研究所一模(文))《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中,侧棱底面,,点是的中点,作交于点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
(1)作出辅助线,利用中位线证明线线平行,进而证明线面平行;(2)由线面垂直得到线线垂直,进而证明线面垂直.
(1)
连接交于,连接,因为为矩形,所以为中点,又为中点,所以又平面,平面,所以平面.
(2)
因为侧棱底面,平面,所以,
又为矩形,所以,,所以平面,平面,所以,因为为的中点,且,由三线合一得:,因为,所以平面,因为平面,从而,又,,所以平面.
15.(2022·全国·高三专题练习(文))如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,BC=2AD,E为线段BC的中点.
(1)求证:平面PDE⊥平面PAD;
(2)在线段BD上是否存在点F,使得EF//平面PCD?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由;
(3)若AB=1,DC=,PA=2,求四棱锥P—ABCD的体积.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)存在点F,F为BD的中点,理由见解析;
(3)1.
【分析】
(1)由题意,证明在平面PDE中的直线DE与平面PAD垂直即可;
(2)取BD的中点F,证明EF//CD即可;
(3)先求出底面直角梯形的面积,再利用锥体的体积公式即可求出四棱锥P—ABCD的体积.
(1)
证明:E为BC的中点,BC=2AD,
AD=BE,而AD//BC
四边形ABED是平行四边形,又∠BAD=90°,
DE⊥AD,
又PA⊥平面ABCD,
DE⊥PA,PA∩AD=A
DE⊥平面PAD,而DE平面PDE,
平面PDE⊥平面PAD
(2)
解:存在点F,且F为BD的中点,理由如下:
取BD的中点F,如上图所示
E,F分别为BC,BD的中点,
EF//CD,而CD平面PCD,EF平面PCD,
EF//平面PCD
(3)
解:由条件可知BC=2,
所以梯形ABCD的面积为:
故四棱锥P-ABCD的体积为V=
16.(2021·全国·高二单元测试)如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.
(1)证明:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面,说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)存在,理由见解析
【分析】
(1)推导出平面,从而,推导出,从而平面,由此能证明平面平面;
(2)当为中点时,连结,,交于点,则是的中点,连结,推导出,从而平面.
(1)
证明:由题设知,平面平面, 平面平面,
,平面,平面,
平面,,
为上异于,的点,且为直径,,
又,平面,
平面,平面平面;
(2)
解:在线段上存在点,当为中点时,使得平面.
证明如下:
连结,,交于点,
是矩形,是的中点,连结,
是中点,,
平面,平面,平面,
所以当为中点时,平面.
17.(2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习)如图,直三棱柱中,,.
(1)求证:;
(2)在棱上是否存在点K,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)当为中点时,平面,此时
【分析】
小问1:根据直三棱柱,得面面,结合,证明面,从而得到;
小问2:分别取,的中点为,,连接,证明,,进而证得面面,从而证得平面,得到的值.
(1)
因为为直三棱柱,故面面,
又面面,且,故面,
又面,故
(2)
分别取,的中点为,,连接,
因为,故为的中位线,为的中位线,
因此,
又面,故面
又为直三棱柱,故,即,
又面,故面
又,故面面
又面,故平面,
此时
18.(2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习)如图,在四棱锥中,平面,,.
(1)求证:平面.
(2)求证:平面平面.
(3)设点为的中点,在棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)为中点.证明见解析
【分析】
(1)证明,,得到平面.
(2)根据得到平面,得到证明.
(3)为中点时,平面,,平面,且平面,得到答案.
(1)
平面,平面,故,,,
故平面.
(2)
,平面,故平面,平面,故平面平面.
(3)
当为中点时,平面.
证明如下:为中点,为的中点,故,
平面,且平面,故平面.
19.(2021·陕西·西安中学高一阶段练习)如图所示,已知点P是平行四边形所在平面外一点,M,N,Q分别,,的中点,平面平面.
(1)证明平面平面;
(2)求证:.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
(1)由线面平行、面面平行的判定即可证明.
(2)利用线面平行的性质定理即可证明.
(1)
证明:因为M,N,Q分别,,的中点,所以,
又平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD, 平面ABCD,
因为,平面MNQ,
所以平面平面,
(2)
证明:因为,平面,平面,
所以平面,
又平面平面,平面,
所以.
20.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,平面平面,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
(1)由题意易知,平面,平面,根据面面平行的判定定理即可证出;
(2)根据平面知识可证,再根据面面垂直的性质定理可知平面,即可根据面面垂直的判定定理证出.
(1)
因为,分别为,的中点,所以,又平面,平面,所以平面①;因为且,所以四边形为平行四边形,即有,又平面,平面,所以平面②,由①②及,平面,所以平面平面.
(2)
由(1)可知,,所以,即有,而平面平面,
平面平面,所以平面,而平面,所以平面平面.
21.(2021·山西吕梁·高三阶段练习(文))如图,在四棱锥中,底面直角梯形,,,是等边三角形,且,.
(1)设平面平面,求证:平面;
(2)若,求证:平面平面.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)利用线面平行的判定定理和性质即可证明;
(2)证明CD⊥AC,从而得到平面即可.
(1)
∵,平面,平面,
∴∥平面,
又平面平面,平面,
∴,
又平面,平面,∴平面;
(2)
作,垂足为M,
∵,,∴,
又,,∴四边形为正方形,∴,
又,∴,∴,
又,∴,∴,
又,,,平面,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
22.(2021·全国·高一单元测试)如图所示,已知多面体ABCDFE中,四边形ABCD为矩形,,,平面平面ABCD,O,M分别为AB,FC的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面DAF;
(3)若过EF的平面交BC于点G,交AD于点H,求证:.
【答案】
(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解.
【分析】
(1)利用面面垂直的性质定理证出,再由线面垂直的判定定理证明平面,由线面垂直的性质定理即可证明.
(2)取的中点,连接,利用线面平行的判定定理即可证明.
(3)由面面平行的性质定理即可证明.
(1)
平面平面ABCD,
平面平面ABCD,
在矩形ABCD中,,平面 ABCD,
平面,,
又,,平面,平面,
平面,
(2)
取的中点,连接,
分别为的中点,
,且,
,,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
所以,
平面DAF,平面DAF,
平面DAF.
(3)
,
过直线存在一个平面,
使得平面平面ABCD,
又过的平面交于,交于点,
平面ABCD,
,
23.(2020·广东揭东·高一期末)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,,,为与的交点,为棱上一点
(1)证明:平面;
(2)若平面,求三棱锥的体积.
【答案】
(1)证明见解析;
(2).
【分析】
(1)根据菱形性质和线面垂直性质可得,,由线面垂直的判定可得结论;
(2)连接,由线面平行性质可得,知为中点,由体积桥可得,根据长度关系可求得结果.
(1)
四边形为菱形,;
平面,平面,;
平面,,平面;
(2)
连接,
平面,平面,平面平面,,
又为中点,为中点,
四边形是菱形,,,,;
由(1)知:平面,
.
24.(2021·全国·高一课时练习)在三棱柱中,
(1)若分别是的中点,求证:平面平面.
(2)若点分别是上的点,且平面平面,试求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)1.
【分析】
(1)先证明平面,在证明平面,即可证明平面平面;
(2)连接交于O,连接,由题意先面面平行的性质证明,再由平行的性质结合题设即可求解
【详解】
(1)∵分别是的中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面,
∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
又∵平面,平面,
∴平面,
又∵,平面,
∴平面平面;
(2)连接交于O,连接,
由平面平面,且平面平面,
平面平面,
∴,
则,
又由题设,∴,即.
25.(2021·上海浦东新·高二期中)已知是矩形所在平面外一点,,分别是,的中点,求证:平面.
【答案】证明见解析
【分析】
解法1:取中点,连接,,由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形,从而得,再利用线面平行的判定定理可证得结论,
解法2:取中点,连接,,则由三角形中位线定理和平行四边形的性质可得,,再由面面平行的判定定理可得平面平面,然后由面面平行的性质可得结论
【详解】
解法(1)取中点,连接,,
是中点,是中点,,,
是矩形边中点,,,
,,所以四边形是平行四边形,
,且是平面外的一条直线,是平面上的一条直线,
平面.
解法(2)取中点,连接,,
是中点,是中点,所以,
因为是的中点,是的中点,
所以,
因为,,
所以, ,
所以四边形为平行四边形
所以,
因为平面,平面,平面,平面,
所以平面,平面,
因为
所以平面平面,
因为平面,所以平面.
26.(2021·全国·高一课前预习)如图,平面平面,四边形为矩形,和均为等腰直角三角形,且.
(1)求证:平面平面;
(2)若点为线段上任意一点,求证:平面.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)证明出平面,可得出,由已知条件得出,利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立;
(2)证明出平面平面,再利用面面平行的性质可证得平面.
【详解】
(1)因为为矩形,所以,
又因为平面平面,平面,平面平面,所以平面,
又因为平面,所以,
因为,即,且、平面,,
所以平面.
又因为平面,所以平面平面;
(2)因为,平面,平面,所以平面.
因为和均为等腰直角三角形,且,
所以,所以,
又平面,平面,所以平面,
因为,所以平面平面.
又因为平面,所以平面.
27.(2021·全国·高二课时练习)如图,在直三棱柱中,,,点D,E,F分别为棱,,的中点.求证:
(1)平面DEF;
(2)平面平面DEF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先证明平面平面,然后利用面面平行的性质即可证明线面平行;(2)首先利用正方形性质证明,然后利用线面垂直判定定理和性质证明,进而证明平面,最后利用面面垂直的判定定理即可求解.
【详解】
(1)连接,如下图:
因为点D,E,F分别为棱,,的中点,几何体为直三棱柱,
所以,,
又因为,,,平面;,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面.
(2) 因为,几何体为直三棱柱,
所以四边形为正方形,故,
因为,所以,
又因为,,,所以平面,
又因为平面,所以,
又因为,所以平面,
又因为平面,所以平面平面.
28.(2022·全国·高三专题练习)如图,四棱台中,底面为直角梯形,,, ,为棱的中点,证明:平面.
【答案】证明见解析
【分析】
延长CC1,BB1交于点V,在BB1上取点Q,使,再连BD交AC于点O,连接OQ,证明,即可推理作答.
【详解】
在四棱台中,在BB1上取点Q,使,连BD交AC于点O,连接OQ,如图,
延长CC1,BB1交于点V,由,则,,
则,即,又平面,平面,于是得平面,
在直角梯形中,,则,于是得,又平面,平面,则平面,
又,平面OQC,因此得平面平面OQC,又平面OQC,
所以平面.
29.(2022·全国·高三专题练习)如图,在多面体中,是矩形,是正方形,点为的中点,求证:平面.
【答案】证明见解析
【分析】
连AC交BD于点N,连MN,证明MN,BN都平行于平面EFC,再经推理论证即可作答.
【详解】
连接AC交BD于点N,连接MN,如图,
因四边形ABCD是正方形,则N为AC的中点,而M为AE的中点,于是得MN//CE,
又平面EFC,平面EFC,因此,MN//平面EFC,
在矩形中,,平面EFC,平面EFC,则BN//平面EFC,
而,平面BMN,从而得平面BMN//平面EFC,又平面BMN,
所以BM//平面EFC.
30.(2021·河南·高三阶段练习(文))如图所示,在四棱锥中,,,为等边三角形,且平面ADE平面BCDE,F为棱AC的中点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)证明:.
【答案】
(1);
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据给定条件求出等腰梯形的面积,取DE中点O,连AO,证得平面即可计算作答.
(2)利用(1)中信息,证得平面,连FG,再证平面即可推理作答.
(1)
因,,则四边形是等腰梯形,取CD中点G,连BG,如图,
显然有,,则四边形是平行四边形,,
于是得是正三角形,等腰梯形的高等于正的高,
等腰梯形的面积,
取DE中点O,连AO,为等边三角形,则,而平面ADE平面BCDE,
平面ADE,平面ADE平面,因此,平面,又,
从而有,
所以四棱锥的体积是.
(2)
由(1)知,,,
在中,,
于是得,即,即有,
又平面,平面,则,而,平面,
因此有平面,而平面,则,
连FG,因F为棱AC的中点,G为CD的中点,则,于是得,
又,平面,从而得平面,因平面,
所以.
31.(2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习(文))如图,直四棱柱中,上下底面为等腰梯形,.,,为线段的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设为线段上一点,试确定点的位置,使平面平面.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)点为中点.
【分析】
(1)根据给定条件可得,利用勾股定理证明即可证得平面平面.
(2)取的中点,证明和,利用面面平行的判定定理即可推理作答.
(1)
因为为直四棱柱,则平面,而平面,于是得,
在中,,,由余弦定理得,,
因此,,即,又,平面,则平面,又平面,
所以平面平面.
(2)
当点为中点时,平面平面,
连接,如图,
在等腰梯形中,,
即,而,则四边形为平行四边形,即有,
因平面,平面,则有平面,
因为,,则四边形为平行四边形,有,而平面,平面,
因此,平面,又,
所以平面平面.
32.(2021·贵州·高三阶段练习(文))如图,在四棱锥中,已知,,,,且平面.
(1)证明:平面平面.
(2)若是上一点,且平面,求三棱锥的体积.
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)利用线面垂直证明面面垂直;
(2)设过点和的平面交平面于,根据线面平行的性质定理可证为平行四边形,进而可得及三棱锥体积.
(1)
证明:因为,,所以,
因为平面,所以,
又,所以平面,
因为平面,
所以平面平面;
(2)
解:如图,设过点和的平面交平面于,点在上,连接因为平面,则,
因为,且平面,所以平面,
又平面平面,所以.
所以四边形为平行四边形,则.
过点作,垂足为,则平面.
又,,可得,
所以.
33.(2021·贵州毕节·模拟预测(文))如图1,正方形中,,,将四边形沿折起到四边形的位置,使得(如图2).
(1)证明:平面平面;
(2)若分别为的中点,求三棱锥的体积.
【答案】
(1)见解析;
(2)﹒
【分析】
(1)证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证;
(2)根据几何关系,利用,由锥体体积公式即可得解.
(1)
∵在正方形中,,,
∴QM⊥QP,,
又∵∠AMQ=60°,∴在△AMQ中,由余弦定理得,
,
,
,
又∵Ì平面ABPQ,∴平面ABPQ,
又∵QMÌ平面MNPQ,∴平面平面;
(2)
由(1)知AQ⊥QM,QM⊥QP,
∵在正方形中,,,
∴四边形CDMN为矩形
∴MN⊥AM,MN⊥DM,
∴MN⊥MQ,MN⊥MA,
∵MQ∩MA=M,MQ、MAÌ平面AMQ,∴MN⊥平面AMQ,
∵MNÌ平面ABNM,∴平面ABNM⊥平面AMQ,
过Q作QH⊥AM于H,则QH⊥平面ABNM,即QH⊥平面BEF,
QH=QMsin60°=,
∴﹒
34.(2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模(文))图1是,,,、分别是边、上的两点,且,将沿折起使得,如图2.
(1)证明:图2中,;
(2)图2中,求三棱锥的体积.
【答案】
(1)证明见解析;
(2).
【分析】
(1)证明得出平面,利用线面垂直的性质可证得结论成立;
(2)证明出平面,计算出的面积,利用锥体的体积公式可求得结果.
(1)
证明:在图1中,因为,则,,则,
在图(2)中,则有,,,则平面,
平面,因此,.
(2)
解:在图1中,因为,则,,
在图2中,平面,,则平面,
因为,则,
故.
35.(2021·广西玉林·模拟预测(文))如图所示的四棱锥中,底面为正方形,平面平面,,,分别是,,的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】
(1)证明见解析;
(2).
【分析】
(1)根据给定条件证得及即可推理作答.
(2)由给定条件可得点到平面的距离是点到平面的距离的,再借助三棱锥等体积法转化求解即得.
(1)
在中,,为的中点,则,又平面平面,
平而平面,平而,于是得平面,
而平面,则,又底面是正方形,,分别是,的中点,即,
因,平面,
所以平而.
(2)
因为的中点,则点到平面的距离是点到平面的距离的,如图,
因此,,
所以三棱锥的体积为.
36.(2019·广东·顺德一中高二期中)如图,在四棱锥中,,,,平面平面,,是的中点.求证:
(1)底面;
(2)平面.
【答案】
(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据面面垂直的性质定理,即可得证;
(2)根据已知条件可证,再由线面平行的判定定理,即可证明结论.
(1)
证明:因为平面PAD⊥底面ABCD,且,平面 底面ABCD,
所以PA⊥底面ABCD.
(2)
证明:因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE,
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
37.(2021·黑龙江·大庆中学高三期中(文))如图,在三棱柱中,平面平面,是的中点.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】
(1)证明见解析.
(2).
【分析】
(1)连接,由平面几何知识证得,根据面面垂直的性质可证得,再由线面垂直的判定和性质可得证;
(2)运用等体积法可求得三棱锥的体积.
(1)
证明:在三棱柱中,连接,
,,,
是等边的边的中点,,
平面平面,平面平面,所以平面,,
又平面,.
(2)
(2)由(1)知平面,
.
38.(2021·四川·高三阶段练习(文))如图,在四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,,且,,为的中点.
(1)证明:平面.
(2)过,,作四棱锥的截面,请写出作法和理由,并求截面的面积.
【答案】
(1)证明见解析
(2)作法和理由见解析;面积
【分析】
(1)由平面,得到,再由,证得,利用线面垂直的判定定理,证得平面,得到,结合,进而证得平面.
(2)过作,交于,连接,证得,得到过,,的截面为四边形,由(1)知证得,结合直角梯形的面积公式,即可求解.
(1)
证明:因为平面,平面,所以,
又因为,,所以,
由且平面,所以平面,
又由平面,所以,
因为,为的中点,所以,
又因为且平面,所以平面.
(2)
解:如图所示,过作,交于,连接,则截面为四边形.
理由如下:
因为,,所以,所以,,,四点共面,
所以过,,的截面为四边形,
由(1)知平面,因为平面,所以,
又由,
所以四边形为直角梯形,其面积.
39.(2021·云南·高三阶段练习(文))已知ABCD是边长为2的正方形,平面平面DEC,直线AE,BE与平面DEC所成的角都为45°.
(1)证明:.
(2)求四棱锥E-ABCD的体积V.
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)已知平面平面DEC,,由面面垂直的性质定理即可证得线面垂直,进而证得结果;
(2)根据已知可求得.取CD的中点O,连接OE,可证得平面ABCD,根据四棱锥E-ABCD的体积.即可求得结果.
(1)
(1)证明:因为ABCD是正方形,所以.
因为平面平面DEC,平面平面,
所以平面DEC,
又平面DEC,所以.
(2)
解:因为,所以平面DEC,则和分别是直线AE,BE与平面DEC所成的角,即,
所以.
取CD的中点O,连接OE,所以.
因为平面平面DEC,平面平面,所以平面ABCD,即OE为四棱锥E-ABCD的高,且.
所以四棱锥E-ABCD的体积.
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