第28讲 排列组合-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第28讲 排列组合

【知识点总结】

1.分类加法计数原理

           ①有n类方法                

完成一件事 ②任两类无公共方法（互斥）    共有

           ③ 每类中每法可单独做好这件事

种不同方法.

2.分步乘法计数原理

            ①必须走完n步，才能完成任务 

完成一件事  ②前一步怎么走对后一步怎么    共有

            ③走无影响（独立）             

种不同方法.

3.排列与排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有 .

4.组合与组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有 .

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）互不相同的盆菊花，其中盆为白色，盆为黄色，盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

例2．（2022·全国·高三专题练习）某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）

A．240种 B．300种

C．360种 D．420种

例3．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(    )

A．66种 B．60种 C．36种 D．24种

例4．（2022·全国·高三专题练习）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（    ）

A．480 B．240 C．384 D．1440

例5．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有(    )

A．10种 B．20种 C．50种 D．70种

例6．（2022·全国·高三专题练习）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（    ）

A． B． C． D．

例7．（2022·全国·高三专题练习）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（    ）

A．10 B．20 C．540 D．1080

例8．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（    ）

A．12种 B．24种 C．32种 D．36种

例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（    ）

A．28种 B．30种

C．27种 D．29种

2．（2022·全国·高三专题练习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（    ）

A．26 B．60

C．18 D．1080

3．（2022·全国·高三专题练习）某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（   ）

A．4种 B．5种 C．9种 D．20种

4．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（    ）

A．32 B．23

C．43 D．24

5．（2022·全国·高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（    ）

A．180种 B．360种

C．720种 D．960种

6．（2022·全国·高三专题练习）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（    ）

A．64种 B．46种 C．24种 D．360种

7．（2022·浙江·高三专题练习）在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

9．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（    ）

A．36 B．48 C．72 D．96

10．（2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测（理））用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(，，，，)染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（    ）种染色方法

A．120 B．180 C．360 D．420

11．（2021·河南·高三阶段练习（理））如图，准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（    ）

A． B． C． D．

13．（2022·全国·高三专题练习）某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(    )

A．种 B．种

C．种 D．种

14．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(    )

A．66种 B．60种 C．36种 D．24种

15．（2022·全国·高三专题练习）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

16．（2022·浙江·高三专题练习）高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（    ）

A．864种 B．432种 C．288种 D．144种

17．（2022·浙江·高三专题练习）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（    ）

A．12 B．24 C．64 D．81

18．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（    ）

A．840种 B．140种

C．420种 D．210种

19．（2021·四川·绵阳中学高三阶段练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法

A．225 B．185 C．145 D．110

二、填空题

20．（2022·全国·高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).

21．（2022·全国·高三专题练习（理））某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．

22．（2022·全国·高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.

23．（2022·全国·高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．

24．（2022·全国·高三专题练习）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）

25．（2020·全国·高三专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.

26．（2022·全国·高三专题练习（理））将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为______．

27．（2022·全国·高三专题练习）为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．

28．（2022·河北张家口·高三期末）四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为___________.

29．（2022·全国·高三专题练习）某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)

30．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四人分别去甘肃､内蒙古､北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲､乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有___________.

31．（2022·全国·高三专题练习）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）

32．（2020·辽宁·凌源市第二高级中学高三期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．

33．（2020·全国·模拟预测（理））世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.

34．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学高三阶段练习）从6名志愿者中选出4个人分别从事翻译、导游、导购、保洁工作，其中甲、乙两个人不能从事翻译工作，则选派志愿者的方案共有_____种（用数值作答）

三、解答题

35．（2022·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体站成一排，男、女各站在一起；

（4）全体站成一排，男生不能站在一起．