河北省唐山市2022-2023学年高三上学期学业水平调研考试数学试卷(含答案)

唐山市2022-2023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试

数   学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的纲笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用䂏笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则

A.

B.

C.

D.

2.已知函数,则其图象大致为

3.已知函数,则

A.在单调递增,且图象关于直线对称

B.在单调递增,且图象关于直线对称

C.在单调递减,且图象关于直线对称

D.在单调递减,且图象关于直线对称

4.的展开式共有七项，且常数项为20,则

A.1

B.

C.2

D.

5.直线与抛物线交于两点,则

A.8

B.

C.4

D.

6.高斯(Gauss)被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时,他是这样算的:,,共有50组,所以,这就是著名的高斯法,又称为倒序相加法.事实上,高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称,为数列的前项和,则下列结论中,错误的是

A.

B.

C.

D.

7.已知正三棱锥的侧棱长为2,则该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为

A.

B.

C.

D.

8.设,则

A.

B.

C.

D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9.已知为虚数单位,复数,下列结论正确的有

A.

B.

C.若,则

D.若,则

10.已知是三条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题正确的有

A.若,则

B.若,则

C.若,则

D.若,则

11.甲、乙、丙三人玩传球游戏,第1次由甲传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为,则下列结论正确的有

A.

B.

C.

D.

12.已知圆,动点,直线在上的射影为点,下列结论正确的有

A.若在圆上,则直线与圆相切

B.若在圆内,则直线与圆相交

C.若过点,与圆相交于点,则四边形面积的最小值为

D.若在曲线上,则的轨迹所围成区域的面积为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知是正项等比数列中的连续三项,则公比          .

14.在中,分别为的中点,则          .

15.圆台中,上、下底面的面积比为,其外接球的球心在线段上,若,则圆台和球的体积比为          .

16.函数,当时,,则的取值范围是          .

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

记的内角的对边分别为,已知.

(1)若,求;

(2)求的最大值.

18.(12分)

已知是等差数列,是公比不为1的等比数列,.

(1)求数列的通项公式;

(2)若集合,且,求中所有元素之和.

19.(12分)

如图,在四棱锥中,底面是菱形,.

(1)证明:平面平面;

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

20.(12分)

为试验一种新药,某医院把该药分发给10位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案为:若这10位患者中至少有5人治愈,则认为这种新药有效;否则认为这种新药无效.假设新药有效，治愈率为.

(1)用表示这10位志愿者中治前的人数,求的期望;

(2)若10位志愿者中治愈的人数恰好为,从10人中随机选取5人,求5人全部治愈的概率;

(3)求经试验认定该药无效的概率(保留4位小数）;根据值的大小解释试验方案是否合理.(依据:当值小于时,可以认为试验方案合理,否则认为不合理.)附:记,参考数据如下:

21.(12分)

已知椭圆的离心率为,点在上,不经过点的直线与交于不同的两点.

(1)求的方程;

(2)若直线与直线的斜率之和为0,求的值及的取值范围.

22.(12分)

已知函数.

(1)求的极值;

(2)若,证明:函数有两个零点,且.

唐山市2022～2023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试

数学参考答案

一．选择题：

1－4 ADBB   5－8 ACCD

二．选择题：

9．AC  10．BD  11．AC  12．ACD

三．填空题：

13．2－ 14．－4  15． 16．(0，e]

四．解答题：

17．解：

（1）由cosA＝－及正弦定理得cosA＝－，

即cosAsinB＝－sinC，由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

代入整理得sinAcosB＝－2cosAsinB，又B＝，则tanA＝－2tanB＝－2，

所以tanC＝－tan(A＋B)＝＝．      …5分

（2）由cosA＝－知，A为钝角，B为锐角，即tanB＞0．

由（1）知tanA＝－2tanB，

所以tanC＝－tan(A＋B)＝＝＝

≤＝．                        …8分

当且仅当2tan2B＝1，即tanB＝时，等号成立．

所以tanC的最大值为．                                                 …10分

18．解：

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由a1＝b1＝2，a2＝b2，a5＝b3．

可得，解得q＝3或q＝1（舍），从而d＝4，

所以an＝4n－2，bn＝2×3n－1．                                                …5分

（2）设bm＝ak，即2×3m－1＝4k－2，得3m－1＝2k－1，

因为1≤k≤100，所以1≤2k－1≤199，故1≤3m－1≤199，

由于34＜199＜35，所以0≤m－1≤4，即1≤m≤5，    …10分

所以bm＝＝242．                      …12分

19．解：

（1）如图，取AD的中点O，连接OB，OP．

∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60，

∴△ABD是等边三角形，则有AD⊥OB，

又AD⊥PB，OB∩PB＝B，

∴AD⊥平面POB，则有AD⊥PO． …2分

设PA＝2，则AB＝2，PB＝，PO＝OB＝，

∵PB2＝PO2＋OB2，

∴PO⊥OB，又OB∩AD＝O，  …4分

∴PO⊥平面ABCD，又PO平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD．  …5分

（2）设PA＝2，以O为坐标原点，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示．

则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，P(0，0，)，

＝(－1，，0)，＝(－1，0，)，＝(－2，0，0)，＝(0，－，)，

设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则令x1＝，得m＝(，1，1)，  …8分

设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

则令y2＝1，得n＝(0，1，1)，  …10分

设平面PAB与平面PBC夹角为，则

cos＝|cosm，n|＝＝，

所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．     …12分

20．解：

（1）将10位患者服用新药视为10重伯努利试验，在每次实验中，

每位患者治愈的概率为0.8，且每位患者是否治愈相互独立，

则X~B(10，0.8)，故E(X)＝10×0.8＝8．                                …4分

（2）设A＝“任选5位志愿者全部治愈”，则

P(A)＝＝．                                    …7分

（3）设B＝“经过试验该药被认定无效”，事件B发生等价于{X≤4}，则

p＝P(B)＝P(X≤4)＝C×0.8k×0.210－k

＝0.0001＋0.0008＋0.0055＝0.0064．                 …11分

p值小于0.05，可以认为试验方案合理．                  …12分

21．解：

（1）由题意得                       …2分

得a＝，b＝1，c＝1，

则椭圆E的标准方程为：．                     …4分

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

依题设△＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(1＋2k2－m2)＞0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，                     …6分

所以kPA＋kPB＝＋＝＋

＝2k＋(k＋m－)×

＝2k－(k＋m－)×

＝2k－(k＋m－)×

＝2k－＝        …9分

由于kPA＋kPB＝0，于是＝0

所以＝0，所以k＝．                                    …10分

由△＝8(1＋2k2－m2)＞0，得－＜m＜．                                 …11分

因为直线l不经过点P，所以m≠0．

于是m的取值范围为－＜m＜且m≠0．                    …12分

22．解：

（1）函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

∵f(x)＝xex＋ex－1，                                                               …1分

∴当x＝0时，f(x)＝0；                                                               …2分

当x＞0时，xex＞0，ex－1＞0，则f(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＜0时，xex＜0，ex－1＜0，则f(x)＜0，f(x)单调递减．

故当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝0；没有极大值．                               …4分

（2）

由（1）知g(x)至多有两个零点，且g(0)＝f(0)－a＝－a＜0．

取函数h(x)＝ex－x－1，则h(x)＝ex－1，

当x＞0时，h(x)＞0，h(x)单调递增；

当x＜0时，h(x)＜0，h(x)单调递减．

故当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0，则ex－1≥x．

因此，当x＞0时，f(x)＝(ex－1)x＞x2，则

g()＝f()－a＞a－a＝0．

故g(x)存在一个零点x1∈(0，)(0，＋∞)．

∵ea－a＞0，∴ea－ea＜1．

则g(－ea)＝(e－ea－1)(－ea)－a＝ea－ea－ea－a＞ea－1－a＞0，

故g(x)存在另一个零点x2∈(－ea，0)(－∞，0)．

综上所述，g(x)＝f(x)－a有两个零点x1，x2，即f(x1)＝f(x2)＝a．               …8分

∵x2＜0，∴－x2＞0，

要证x1＋x2＜0，只需证明x1＜－x2．

由于当x＞0时，f(x)单调递增，故只需证明f(x1)＜f(－x2)，即证f(x2)＜f(－x2)．

令h(x)＝f(x)－f(－x)，x＜0．

则h(x)＝f(x)＋f(－x)＝x(ex－e－x)＋ex＋e－x－2．

∵x＜0，∴ex－e－x＜0，x(ex－e－x)＞0．又ex＋e－x＞2，

故h(x)＞0，当x＜0时，h(x)单调递增．

∵x2＜0，∴h(x2)＜h(0)＝0，则f(x2)＜f(－x2)．

因此x1＋x2＜0．                                                                              …12分