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新高考数学二轮复习专题22 双变量含参不等式证明方法之消参减元法 (2份打包，教师版+原卷版)
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[例1] 已知函数f(x)＝ax2－x－lneq \f(1,x)．
(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
[例2] 已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－x＋aln x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)[例3] 已知函数f(x)＝eq \f(a,x－1)＋ln x．
(1)若函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞))内有极值，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－eq \f(1,e)．
[例4] 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋alnx(a>0)．
(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>eq \f(－3－2ln 2,4)．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求k的值；
(2)若对于任意x1，x2∈(0，3]，且x1
[例1] 已知函数f(x)＝ax2－x－lneq \f(1,x)．
(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
[例2] 已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－x＋aln x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)
(1)若函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞))内有极值，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－eq \f(1,e)．
[例4] 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋alnx(a>0)．
(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>eq \f(－3－2ln 2,4)．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求k的值；
(2)若对于任意x1，x2∈(0，3]，且x1
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