2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点08一元一次不等式（组）

考点08一元一次不等式（组）

【考点总结】一、不等式的有关概念及其性质

1．不等式的有关概念

(1)不等式：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．

(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．

(3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2．不等式的基本性质

(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变，

即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．

(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，

即若a＜b，且c＞0，则ac＜bc.

(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，

即若a＜b，且c＜0，则ac＞bc.

【考点总结】二、一元一次不等式(组)的解法

1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式．

2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．

5．一元一次不等式组解集的确定方法

若a＜b，则有：

(1)的解集是x＜a，即“同小取小”．

(2)的解集是x＞b，即“同大取大”．

(3)的解集是a＜x＜b，即“大小小大中间夹”．

(4)的解集是空集，即“大大小小无解答”．

【考点总结】三、不等式(组)的应用[

1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，

如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．

这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．

2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：

(1)审题；

(2)设未知数；

(3)找出能够包含未知数的不等量关系；

(4)列出不等式(组)；

(5)求出不等式(组)的解；

(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；

(7)写出答案(包括单位名称)．

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东济南·三模）使得关于 x 的不等式组无解，且使分式方程的解小于 4 的所有整数a 的个数是（      ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】

不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．

【详解】

解不等式，得：x≤5a-6，

解不等式x-2a＞6，得：x＞2a+6，

∵不等式组无解，

∴2a+6≥5a-6，

解得：a≤4，

解方程，得：x=2-2a，

∵方程的解小于4，

∴2-2a＜4且2-2a≠±2，

解得：a＞-1且a≠0、a≠2，

则-1＜a≤4且a≠0、a≠2，

所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，

故选：B．

2．（2021·湖南天心·九年级期中）不等式组的解在数轴上表示为（      )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．

【详解】

由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，

由不等式②，得-2x≤-4，解得x≥2，

∴数轴表示的正确方法为C，

故选C．

3．（2021·重庆巴南育才中学校三模）如果关于x的分式方程有非负整数解，关于y的不等式组有且只有3个整数解，则所有符合条件的m的和是(　　)

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2

【答案】A

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值即可．

【详解】

解：去分母得：x﹣m﹣1＝2x﹣4，

解得：x＝3﹣m，

由解为非负整数解，得到3﹣m≥0，3﹣m≠2，即m≤3且m≠1，

不等式组整理得：，

由不等式组只有3个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，0，即0＜≤1，

解得：﹣2≤m＜2，

则符合题意m＝﹣2，﹣1，0，之和为﹣3，

故选：A．

4．（2021·广西田林·一模）给出下列4个命题：①相等的角是对顶角；②同旁内角互补；③三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；④不等式组的解集是．其中是假命题的有（  ）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④

【答案】A

【分析】

判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，根据定义解答即可．

【详解】

解：①相等的角不一定是对顶角，故该命题是假命题；

②同旁内角不一定互补，故该命题是假命题；

③三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半，故该命题是真命题；

④不等式组的解集是，故该命题是真命题，

故选：A．

5．（2021·江苏海州·七年级期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分别解两个不等式，得和，联立在一起，可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵

∴，

∴

数轴表示为：

故选：D．

6．（2021·江苏省常熟国际学校七年级阶段练习）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（　　）

A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0

【答案】C

【分析】

可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．

【详解】

解：在中，

解不等式①可得x＞m，

解不等式②可得x≤3，

由题意可知原不等式组有解，

∴原不等式组的解集为m＜x≤3，

∵该不等式组恰好有四个整数解，

∴整数解为0，1，2，3，

∴﹣1≤m＜0，

故选：C．

7．（2021·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）若点P（a-3，a-1）是第二象限内的一点，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据第二象限点的坐标特征不等式组，求出不等式组的解集即可．

【详解】

∵点P（a-3，a-1）是第二象限内的一点，

∴ ，

解得：1＜a＜3，

故选D．

8．（2021·山东金乡·七年级期末）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1

【答案】A

【分析】

根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．

【详解】

解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，

∴

解得a＜﹣3．

故选A．

9．（2021·福建·模拟预测）已知过点的直线不经过第四象限，设，则的取值范围为（　　）

A．＜＜ B．≤＜ C．＜≤ D．≤≤

【答案】B

【分析】

根据一次函数图象与系数的关系可得a＞0，b≥0，将点（1，3）代入，得到a+b=3，即b=3-a．由a＞0，b≥0得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围．

【详解】

∵过点（1，3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第四象限，

∴a＞0，b≥0，a+b=3，

∴b=3-a，

∴，解得：0＜a≤3，

∴S=a+2b=a+2（3-a）=6-a，

∴-3≤-a＜0，

∴3≤6-a＜6，

即S的取值范围为：3≤S＜6，

故选：B．

10．（2021·安徽淮南·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ）

A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2

【答案】C

【分析】

①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；

【详解】

依题意得

，即：b=3

,即a=1

所以

整理得

解得

所以整数解是0，1

故选：C

二、填空题

11．（2021·河南·郑州外国语中学八年级期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．

【答案】．

【分析】

根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.

【详解】

解：依题意得：

解得．

故答案是：．

12．（2021·江西会昌·七年级期末）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示，则x的取值范围是_____．

【答案】

【分析】

根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：，

则x的范围是，

故答案为

13．（2021·甘肃镇原·九年级期中）不等式组的解集为______

【答案】

【分析】

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【详解】

，

解不等式得：，

解不等式得：，

不等式组的解集为，

故答案为．

14．（2021·四川师范大学实验外国语学校二模）若关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，且关于y的一元一次不等式组的解集为无解，则符合条件的所有整数a的和为_____．

【答案】5

【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a＞0且a≠2，根据不等式组的解集为无解，即可得出a≤3，找出0＜a≤3且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．

【详解】

解：分式方程﹣＝1的解为x＝且x≠，

∵关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，

∴＞0且≠1，

∴a＞0且a≠1．

，

解不等式①得：y＞3；

解不等式②得：y＜a．

∵关于y的一元一次不等式组的解集为无解，

∴a≤3．

∴0＜a≤3且a≠1．

∵a为整数，

∴a＝2、3，

整数a的和为：2+3＝5．

故答案为4．

15．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是_____．

【答案】13

【分析】

先解不等式得到，再根据正整数解是1，2，3得到时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．

【详解】

解：解不等式3x＋1＜m，得．

∵关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，

∴，

∴，

∴整数m的最大值是13．

故答案为13．

三、解答题

16．（2021·云南昆明·三模）云南某鲜花饼厂一月份生产20000个鲜花饼，现升级设备，连续两个月增长率相同，三月份产量达到24200个．其中所生产的鲜花饼有两种口味，玫瑰鲜花饼每个利润为6元，茉莉鲜花饼每个利润为8元，请回答以下问题：

（1）鲜花饼厂这两个月的月平均增长率是多少?

（2）现将两种鲜花饼搭配成大礼盒，每盒有12个，其中玫瑰鲜花饼的数量的2倍不少于茉莉花饼的数量，且每个大礼盒的利润不低于84元，请问有哪几种搭配方案?

【答案】（1）鲜花饼厂二、三月份平均每月增长率为10%；（2）    方案一：玫瑰鲜花饼4个，茉莉鲜花饼8个；方案二：玫瑰鲜花饼5个，茉莉鲜花饼7个；方案三：玫瑰鲜花饼6个，茉莉鲜花饼6个

【分析】

（1）设鲜花饼厂二、三月份平均每月的增长率为，根据条件列式，求出结果即可；

（2）设每盒搭配玫瑰鲜花饼个，则茉莉鲜花饼搭配个，根据条件列出不等式组，解出取值范围，制定所有可能性的方案即可．

【详解】

解：（1）设鲜花饼厂二、三月份平均每月的增长率为．

依题意可列方程：

，（不合题意，舍去）．

答：鲜花饼厂二、三月份平均每月增长率为10%．

（2）设每盒搭配玫瑰鲜花饼个，则茉莉鲜花饼搭配个．

依题意可列不等式组：

解得：．

又为正整数，

，5，6．

（个），（个），（个）．

答：方案一：玫瑰鲜花饼4个，茉莉鲜花饼8个；

方案二：玫瑰鲜花饼5个，茉莉鲜花饼7个；

方案三：玫瑰鲜花饼6个，茉莉鲜花饼6个．

17．（2021·天津蓟州·一模）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得___________；

（Ⅱ）解不等式②，得___________；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为_________．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）

【分析】

（Ⅰ）根据一元一次不等式的性质求解即可；

（Ⅱ）根据一元一次不等式的性质求解即可；

（Ⅲ）根据①②解集即可画出；

（Ⅳ）观察数轴重合部分即可写出解集．

【详解】

解：（Ⅰ）解不等式①得

（Ⅱ）解不等式②得

（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如下：

（Ⅳ）原不等式组解集：

18．（2021·广东深圳·一模）纸箱厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的有底无盖纸盒（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪）．

（1）若有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片恰好全部用完，可供制作竖式与横式纸盒各多少个？

（2）现有正方形纸板172张，长方形纸板330张． 若要生产两种纸盒共100个．已知每个竖式纸盒可获利2元，每个横式纸盒可获利3元．应如何安排生产，可使销售利润最大？最大利润是多少？

（3）若有正方形纸板112张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．若已知200＜a＜210，则a的值是　   　．（直接写答案）

【答案】（1）竖式纸盒30个，横式纸盒60个；（2）生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元；（3）203或208

【分析】

（1）设可供制作竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设生产竖式纸盒m个，则生产横式纸盒（100﹣m）个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，进而即可得出各生产方案；设销售利润为w元，根据总利润＝单个利润×生产数量，即可得出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题；

（3）设可供制作竖式纸盒b个，横式纸盒c个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关a、b、c的三元一次方程组，解之可得出a＝448﹣5c，再结合a的取值范围即可确定a的值．

【详解】

解：（1）设可供制作竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意得：

，解得：．

答：可供制作竖式纸盒30个，横式纸盒60个．

（2）设生产竖式纸盒m个，则生产横式纸盒（100﹣m）个，

根据题意得：，

解得：28≤m≤30，

设销售利润为w元，根据题意得：w＝2m+3（100﹣m）＝﹣m+300．

∵﹣1＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝28时，w取最大值，最大值为272．

∴最佳生产方案是：生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元．

（3）设可供制作竖式纸盒b个，横式纸盒c个，

根据题意得：，

解得：a＝448﹣5c，

∵200＜a＜210，且c为整数，

∴a＝203或208．

故答案为：203或208．