2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点15等腰三角形

考点15等腰三角形

【考点总结】一、等腰三角形

1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．

2．等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；

(3)等腰三角形是轴对称图形．

3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．

【考点总结】二、等边三角形的性质与判定

1．等边三角形的性质：

(1)等边三角形的内角相等，且都等于60°；

(2)等边三角形的三条边都相等．

2．等边三角形的判定：

(1)三条边相等的三角形是等边三角形；

(2)三个角相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

【考点总结】三、线段的垂直平分线

1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．

2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

【考点总结】四、角平分线的性质及判定

1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合．

真题演练

一、单选题

1．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如图，是的外接圆，，于点，，则的半径为（    ）．

A． B． C．6 D．12

2．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

3．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在等腰直角中，，、分别为、上的点，，为上的点，且，，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·云南官渡·一模）莱洛三角形，也译作勒洛三角形或圆弧三角形，它的应用广泛，不仅用于建筑、商品的外包装设计，还用在工业方面.莱洛三角形形状的钻头可钻出正方形的孔，发动机的原件上也有莱洛三角形，如图1．别以等边的顶点，，为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形，如图2.若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．3

6．（2021·湖北荆门·模拟预测）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ）

A． B． C．2 D．4

7．（2021·陕西·西安市铁一中学二模）如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，点E是边AD上的一点，满足，如果，，那么BC的长是（    ）

A．6 B． C． D．

8．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知，则点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．

9．（2021·四川·眉山市东坡区教育研究与教师培训中心一模）如图，点、、是上的三个点，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·云南江川·一模）如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

二、填空题

11．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度（）到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．

12．（2021·河南平顶山·二模）如图，在矩形中，，，的角平分线交边于点，于点，连结并延长分别交，于点，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____．

13．（2021·全国·八年级单元测试）在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于点H，若，则的大小为______．

14．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．

15．（2021·浙江·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．

三、解答题

16．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，过点C作MN∥AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR⊥PQ交直线AC于点R．

（1）当点Q在射线CM上时

①如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为         ；

②如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）若，，请直接写出CR的长．

17．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在矩形中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径的与对角线相交于点E，连接，当为的切线时．

（1）求证：；

（2）若点E为的中点，的半径为1，求矩形的面积．

18．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC到点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．

（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；

（2）如图2，当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，若点E在线段OA上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．