2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点21与圆有关的计算

考点21与圆有关的计算

【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算

1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.

2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝或S＝lr.

【考点总结】二、圆柱和圆锥

1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.

2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；

圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.

【考点总结】三、不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：

1．直接用公式求解．

2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．

3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．

5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．

真题演练

一、单选题

1．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．

【详解】

解：树叶形图案的面积为：

．

故选：B．

2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．3π

【答案】D

【分析】

根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

∵△ABC中,∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，

∵△OBD、△OCE是等腰三角形，

∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，

∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BOD+∠COE=360°−(∠BDO+∠CEO)−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°−120°=120°，

∵BC=6，

∴OB=OC=3，

∴S阴影=

故选D．

3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO∽△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角∠FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．

【详解】

在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图

∵BP=2PD，BE=2OE

∴

∵∠DBE=∠PBE

∴△DBO∽△PBE

∴  

即

∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝

∴

∴

同理：EF=，

∴PE=EF=EG

∵当点D与点A重合时，点P与点F重合；当点D与点C重合时，点P与点G重合

∴点P在以点E为圆心，为半径的圆弧FG上运动

∵∠AOC=60°

∴∠COB=∠AOC+∠AOB=90°

∵△FBE∽△ABO，△BEG∽△BOC

∴∠FEB=∠AOB=30°，∠GEB=∠COB=90°

∴∠FEG=90°－∠FEB=60°

的长为

故选：A．

4．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．

【详解】

解：当在上时，即点在上时，有，

此时阴影部分为等腰直角三角形，

，

该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；

当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，

设，则，

，，

当时，，，

，

当时，，，

，

在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．

故选：D．

5．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】

如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．

【详解】

解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，

由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，

∴，

故选D．

6．（2021·浙江义乌·九年级期中）用一张半径为的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应该配一个面积为多少的圆做它的底面（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长，从而得到底面圆的半径，即可求出面积．

【详解】

半径为的半圆形纸片的弧长为：，

即：底面圆的周长应为，

∴底面圆的半径为：，

∴底面圆的面积为：，

故选：B．

7．（2021·四川广元·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】

取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．

【详解】

解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，

∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，

∵是以为直径的半圆的切线，

∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，

∴AB=AF=2，CE=CF，

∵OA=OA，

∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），

同理可证△OCE≌△OFE，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

故选D．

8．（2021·湖北江夏·模拟预测）如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．

【详解】

解：过作于，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，

即，

阴影部分的面积

，

故选：B．

9．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．

【详解】

解：．

故选：D

10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（    ）

A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为

B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为

C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为

D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为

【答案】C

【分析】

圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．

【详解】

圆心运动的路径即为圆滚动的距离．

当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．

当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．

当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．

当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．

故选：C．

二、填空题

11．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

【答案】108

【分析】

根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．

【详解】

解得．

故答案为：．

12．（2021·江苏灌云·九年级期中）一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_______度．

【答案】80

【分析】

设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=，求出这个扇形的圆心角为多少即可．

【详解】

设这个扇形的圆心角为n°，

则＝8π，

解得，n＝80，

故答案为：80．

13．（2021·江苏南京·九年级阶段练习）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．

【答案】18π

【分析】

根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；

【详解】

∵圆锥的底面半径为3cm，

∴底面周长，

又∵母线长为6cm，

∴；

故答案是18π．

14．（2021·江苏连云港·二模）如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为____________．

【答案】

【分析】

求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长．

【详解】

解：∵切于点

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴弧的长

故答案为．

15．（2021·江苏江都·二模）一个圆锥的侧面展开图是半径为16cm，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径为________．

【答案】

【分析】

把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

【详解】

解：设此圆锥的底面半径为，

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

，

故答案为．

三、解答题

16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图①，是某小轿车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图②所示．已知，，．

（1）求点到的距离；

（2）求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）

【答案】（1）点D′到BC的距离为（40+50）厘米；（2）点E扫过的路径为厘米．

【分析】

（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=80cm，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，利用扇形弧长公式求出．

【详解】

解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．

由题意，得：AD′=AD=80厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=80×sin60°=40厘米．
又∵CE=30厘米，DE=20厘米，
∴FH=DC=DE+CE=50厘米，
∴D′H=D′F+FH=（40+50）厘米．
答：点D′到BC的距离为（40+50）厘米．
（2）连接AE，AE′，，如图4所示．

由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=80厘米，DE=20厘米，
∴厘米，
∴点E扫过的路径为
答：点E扫过的路径为厘米．

17．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．

（1）若∠B = 24°，求的度数；

（2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积；

（3）若AD·AB= 12，求AC的值．

【答案】（1）48°；（2）；（3）

【分析】

（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC=66°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到的度数；

（2）利用斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=AB=，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD=60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积=S扇形ACD-S△ACD进行计算；

（3）根据垂径定理得到AH=DH=AD，再根据相似三角形的性质得到AC2=AH•AB，即可求解.

【详解】

解：（1）连接CD，如图，

∵∠ACB＝90°，∠B＝24°，

∴∠BAC＝90°﹣24°＝66°，

∵CA＝CD，

∴∠CDA＝∠CAD＝66°，

∴∠ACD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，

∴的度数为48°；

（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，

∴CD＝AD＝BD＝AB＝，

∵CD＝CA，

∴△ACD为等边三角形，

∴∠ACD＝60°，

过点C作CH⊥AD于H，

∴∠ACH=∠DCH=30°，∠CHA=90°，

∴，

∴

∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD

＝；

（3）过点C作CH⊥AD于H，

∴AH＝DH＝AD，

∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，

∴∠ACB＝∠AHC，

又∠A＝∠A，

∴

∴

∴AC2＝AH•AB，

即AC2＝AD•AB＝6，

∴．

18．（2021·贵州遵义·中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：

①画线段AB；

②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；

③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；

④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．

（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；

（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据作法可得AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；

（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB=2，∠BAD=30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．

【详解】

解：（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，

∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，

∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠BCO，

在△ADO和△BCO中，

，

∴△ADO≌△BCO（AAS），

∴OD=OC，

∵OA=OB，MN⊥AB，

∴四边形ADBC是菱形；

（2）∵四边形ADBC是菱形，

∴，

∵∠BAD=30°，

设圆O切AD于点H，连接OH，

则OH⊥AD，

∴，

∴S圆O=，

在Rt△AOD中，∠DOA=30°，OA=，

∴，

∴CD=2OD=2，

∴S菱形ADBC=，

∴图中阴影部分的面积=S菱形ADBC-S圆O=．