2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点26概率

考点26概率

【考点总结】一、事件的有关概念

1．必然事件：

在现实生活中一定会发生的事件称为必然事件．

2．不可能事件：

在现实生活中一定不会发生的事件称为不可能事件．

3．不确定事件：

在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为不确定事件．

4．分类：事件

【考点总结】二、用列举法求概率

1．在不确定事件中，一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率．

2．适用条件：

(1)可能出现的结果为有限多个；

(2)各种结果发生的可能性相等．

3．求法：

(1)利用列表或画树状图的方法列举出所有机会均等的结果；

(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；

(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．

【考点总结】三、利用频率估计概率

1．适用条件：

当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．

2．方法：

进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．

3．概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．

真题演练

一、单选题

1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．

【详解】

解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的小正方体，
在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，
可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，
所以所求概率为．
故选：B．

2．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先设黄球的个数为x个，根据题意得： ，解此分式方程即可求得答案．

【详解】

解：设黄球的个数为x个，

根据题意得：，

解得：x＝12，

经检验：x＝12是原分式方程的解；

∴黄球的个数为12．

故选：B．

3．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ）

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．

【答案】A

【分析】

先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，

只能是1与3的和，

即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，

，

丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，

，

甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，

，

丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，

戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，

故选：A．

4．（2021·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（    ）

A．为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查

B．在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6

C．“若是实数，则”是必然事件

D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定

【答案】B

【分析】

根据抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义分别判断即可．

【详解】

解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，故错误；

B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6，故正确；

C、，则“若a是实数，则”是随机事件，故错误；

D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定，故错误；

故选B．

5．（2021·山东临沂·中考真题）现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

列举出所有的情况，再得到至少有一盒过期的情况数，利用概率公式计算即可．

【详解】

解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，

设未过期的两盒为A，B，过期的两盒为C，D，随机抽取2盒，

则结果可能为（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），

共6种情况，其中至少有一盒过期的有5种，

∴至少有一盒过期的概率是，

故选D．

6．（2021·广西柳州·模拟预测）如图所示，有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张是数字3的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

数字是3的卡片有2张，总共有6张，数字是3的卡片数与总卡片数之比即为所求．

【详解】

解：由图知，6张卡片中有2张是数字3，

∴从中任取一张是数字3的概率是．

故选B．

7．（2021·广东金平·一模）下列事件中是必然事件的是（　　）

A．守株待兔 B．刻舟求剑 C．瓮中捉鳖 D．百步穿杨

【答案】C

【分析】

根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义，逐一判断选项，即可．

【详解】

解：A. 守株待兔，是随机事件，不符合题意，

B. 刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意，

C. 瓮中捉鳖，是必然事件，符合题意，

D. 百步穿杨，是随机事件，不符合题意，

故选C．

8．（2021·全国·九年级专题练习）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如下表：

若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ）

A．200 B．300 C．500 D．800

【答案】C

【分析】

随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．

【详解】

解：∵正面朝上的频率接近于0.5，

∴若抛掷硬币的次数为1000，

则“正面朝上”的频数最接近，

故选C．

9．（2021·河南·一模）现有四张卡片依次写有“中”、“考”、“必”、“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

画出树状图，共有12个等可能的结果，恰巧抽到“必”“胜”二字的结果有2个，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰巧抽到“必”“胜”二字的结果有2个，

∴恰巧抽到“必”“胜”二字的概率为2÷12＝，

故选：C．

10．（2021·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（    ）

A．“连接一个菱形的两条对角线，它们互相垂直平分”这一事件是随机事件．

B．概率很小的事件不可能发生．

C．367人中一定至少有两个人同一天生日．

D．“明天降雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间会有降雨．

【答案】C

【分析】

根据概率的意义以及随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断选项，即可．

【详解】

解：A. “连接一个菱形的两条对角线，它们互相垂直平分”这一事件是必然事件，故该选项错误；

B. 概率很小的事件也有可能发生，故该选项错误；

C. 367人中一定至少有两个人同一天生日，故该选项正确；

D. “明天降雨的概率为80%”，意味着明天降雨可能性比较大，故该选项错误，

故选C．

二、填空题

11．（2021·湖南益阳·中考真题）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是_______．

【答案】

【分析】

根据简单事件的概率计算公式即可得．

【详解】

解：由题意得：小李随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具共有3种等可能性的结果；其中，他选到锄头的结果只有1种，

则他选到锄头的概率是，

故答案为：．

12．（2021·河南·三模）几何图形嵌板是一种开发幼儿智力的玩具．如图，甲，乙两个小朋友分别从，，， 四个嵌板中随机抓取一个，放在操作屉中，则他们抓取相同嵌板的概率为_______________________．

【答案】

【分析】

列表法表示所有等可能的结果，再求得他们抓取相同嵌板的概率．

【详解】

解：列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中抓取相同嵌板的结果有4种，

 (抓取相同嵌板)，

故答案为：．

13．（2021·江苏·盐城市初级中学二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______．

【答案】

【分析】

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．

【详解】

解：∵A区域扇形的圆心角为90°，

∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是，

故答案为：．

14．（2021·河南中牟·二模）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是： 由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是_______．

【答案】

【分析】

列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小颖两人手势相同的情况，再由概率公式求出小凡获胜的概率即可．

【详解】

解：列表如下：

所有等可能的情况有9种，其中小明、小颖两人的手势相同的情况有3种，

则P（小凡获胜）=，

故答案为：．

15．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为10元，随机被甲、乙、丙三人抢到．记金额最多、居中、最少的红包分别为，求甲抢到红包，乙抢到红包的概率为________．

【答案】

【分析】

)列举出所有情况，看恰好是甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

解：

由树形图可得出:因为有A,B,C三个红包,且抢到每一个红包的可能性相同，共有6种情况，恰好甲抢到红包A，乙抢到红包C有1种情况所以概率为．

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·全国·九年级专题练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

（1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数）

（2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值，选取射击次数较多的几次求均值；

（2）利用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的次数，利用概率公式求解．

【详解】

解：（1）“射中九环以上”的概率约为

，

故答案是：．

（2）列表如下

由图可知，总的情况数是种，满足两次抽取的卡片上都写有“中”的有种，由概率公式：

∴（两次抽取的卡片上都写有“中”）．

17．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：

（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．

（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．

（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？

【答案】（1）；（2）；（3）分

【分析】

（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率；

（2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案；

（3）先计算次投篮的命中数，从而可得答案.

【详解】

解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：

（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在附近，

所以这个运动员投篮命中的概率约是

故答案为：

（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中次，

所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：分.

18．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．

【答案】

【分析】

根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.

【详解】

画树状图得：

所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .