2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点19二次根式

考点19二次根式

考点总结

1．二次根式

表示非负数a的算术平方根，也就是说，是一个非负数，它的平方等于a，即有：（1）（2）形如的式子叫做二次根式。

二次根式的性质：

2．二次根式的乘法 

两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

3．积的算术平方根

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。

4．二次根式的除法

两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

1．   商的算术平方根

商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。

7．最简二次根式

被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。

8．二次根式化简主要包括两方面

（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。

9．同类二次根式

像与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式。

二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

真题演练

一、单选题

1．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据二次根式的化简方法即可得．

【详解】

解：原式，

，

故选：D．

2．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（    ）

A． B． C．10 D．4

【答案】D

【分析】

先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．

【详解】

解：是三角形的三边，

，

解得：，

，

故选：D．

3．（2023·湖南郴州·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后，再进行判断即可得到答案．

【详解】

解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；

B. ，故选项B计算错误，不符合题意；

C. ，此选项计算正确，故符合题意；

D. 故选项D计算错误，不符合题意；

故选：C．

4．（2021·湖南株洲·中考真题）计算：（    ）

A． B．－2 C． D．

【答案】A

【分析】

将化简，然后根据乘法法则运算即可．

【详解】

解：

故选：A．

5．（2022·湖南衡阳·中考真题）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．

【详解】

，故A选项错误，不符合题意；

，故B选项正确，符合题意；

和不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；

不能化简，故D选项错误，不符合题意；

故选B．

6．（2021·湖南常德·中考真题）计算：（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】

先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．

【详解】

解：

=

=

=1．

故选：B．

7．（2021·湖南汉寿·一模）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（    ）

A．14 B．20 C． D．

【答案】C

【分析】

利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积即可．

【详解】

解：∵，，，

∴，

∴的面积，

故选：C．

8．（2021·湖南望城·模拟预测）已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据负数没有平方根确定出所求即可．

【详解】

解：∵x＞2，

∴x﹣2＞0，

∴2﹣x＜0，x﹣1＞0，x﹣3与x﹣4不一定大于0，

则当x＞2时，有意义．

故选：B．

9．（2021·湖南长沙·二模）要使有意义，则x的取值范围为（（    ）

A．x≤0 B．x≥1 C．x≥0 D．x≤1

【答案】B

【分析】

根据二次根式有意义的条件，列出不等式，进而即可求解．

【详解】

解：∵有意义，

∴x-1≥0，即：x≥1，

故选B．

10．（2021·湖南长沙·一模）下列计算正确的是（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据合并同类二次根式、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方进行运算即可

【详解】

解：A、，故A错误，不符合题意．

B、，故B错误，不符合题意．

C、，故C错误，不符合题意．

D、，故D正确，符合题意．

故选：D．

二、填空题

11．（2021·湖南衡阳·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是_____．

【答案】x≥3

【分析】

利用二次根式的被开方数为非负数列不等式，再解不等式即可得到答案.

【详解】

解：由题意得：

故答案为：

12．（2021·湖南湘西·中考真题）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．

【答案】

【分析】

根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．

【详解】

解：由二次根式在实数范围内有意义可得：

，解得：；

故答案为．

13．（2021·湖南娄底·中考真题）函数中，自变量的取值范围是__________．

【答案】

【分析】

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．

【详解】

由题意得：x-1≥0，

解得：x≥1，

故答案为：x≥1．

14．（2021·湖南永州·中考真题）若二次根式有意义，则的取值范围是______________．

【答案】

【分析】

根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．

【详解】

根据题意得：

解得，

故答案为：．

15．（2021·湖南湘潭·中考真题）若二次根式有意义，则x的取值范围是___．

【答案】

【详解】

试题分析：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．

故答案是x≥2．

三、解答题

16．（2021·湖南娄底·中考真题）计算：．

【答案】

【分析】

直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．

【详解】

解：

．

17．（2021·湖南常德·中考真题）计算：．

【答案】．

【分析】

直接利用零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值进行计算即可．

【详解】

解：

故答案是：．

18．（2021·湖南郴州·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】

【分析】

先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可．

【详解】

原式=

=

=

=

=

=

=，

原式=．