2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点21图形的相似

考点21图形的相似

考点总结

1．相似图形

把具有相同形状的图形称为相似图形。

2．成比例线段

对于四条线段如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。

3．比例的基本性质

（1）如果，那么ad=bc。

（2）如果ad=bc,（a,b,c,d都不等于零），那么。

4．（1）如果，那么。

  （2）如果，那么。

5．相似多边形的性质

对应边成比例，对应角相等。（也是判断两个多边形相似的方法）

6．相似三角形 

（1）相似用“∽”来表示。

（2）△ABC∽△A＇B＇C＇，对应顶点要写在对应位置上。

（3）如果记，那么这个比值k就是这两个相似三角形的相似比。

（4）全等三角形是相似三角形的特例。

7．相似三角形的判定

（1）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

8．相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应高的比等于相似比。

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（3）相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。

（4）相似三角形周长的比等于相似比。

9．中位线

（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。

     三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

（2）三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的。

（3）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。

10．画相似图形

位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。

真题演练

一、单选题

1．（2021·湖南湘西·中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（    ）

A．，或 B．，或

C．，或 D．，或

2．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（ ）

A． B． C． D．

4．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·湖南怀化·三模）如图，正的边长为4，点为边上的任意一点（不与点，重合），且，交于点．设，，则关于的函数图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·湖南岳阳·二模）下列命题是真命题的是（    ）

A．平行四边形的对角线相等 B．相似三角形对应周长的比等于相似比的平方

C．圆内接四边形的对角互补 D．三角形的内心是三边的垂直平分线的交点

8．（2021·湖南娄星·模拟预测）如图，与相交于点平行，则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于．连接，与相交于点，若．则的值为（    ）

A．5 B．6 C． D．

10．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）如图，在中，，若，则与的面积之比是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）

12．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．

13．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．

14．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）

①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．

15．（2021·湖南岳阳·二模）如图，已知点C是以为直径的⊙O上一点，于点H，过点B作⊙O的切线交直线于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，连接．给出下列结论：①；②是⊙O的切线；③若，则⊙O的半径为；④若，⊙O的半径为3，则弧的长．其中正确的有__________（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

16．（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．

如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若，求的长；

（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：

①作两条相互垂直的直径、；

②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；

③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；

则五边形为正五边形．

在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．

（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．

延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．

17．（2021·湖南永州·中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有．

18．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点的坐标及直线的表达式；

（3）判断的形状，试说明理由；

（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．