2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点25圆

考点25圆

考点总结

1．圆的认识

（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。

（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

2．圆的对称性

（1）在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

（2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。

（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。

（4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

3．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4．圆周角

（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。

5．点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则

（1）点在圆外    

（2）点在圆上    

（3）点在圆内    

6．（1）过一点可以画无数个圆；

过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；

过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。

（3）一个三角形的外接圆是唯一的。

7．直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：

若        直线l与⊙O相离；

若        直线l与⊙O相切；

若        直线l与⊙O相交；

8．切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。

6．圆和圆的位置关系

1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。

2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。

3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。 

（1）两圆外离；

（2）两圆外切；

（3）两圆外离；

（4）两圆外离；

（5）两圆外离

7．圆中的计算问题

（1）弧长的计算公式为：

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

扇形面积的计算公式：

（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中，而就是圆锥的高。

（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

真题演练

一、单选题

1．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）

A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分

C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线

4．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　）

A．2 B． C． D．4

5．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ）

A． B．AD一定经过的重心

C． D．AD一定经过的外心

9．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·湖南怀化·中考真题）以下说法错误的是（    ）

A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是

C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补

二、填空题

11．（2021·湖南永州·中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．

12．（2021·湖南娄底·中考真题）如图所示的扇形中，已知，则________．

13．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．

14．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．

15．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）

三、解答题

16．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，为⊙的直径，为⊙O上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．

（1）求证：平分；

（2）若，，求：边及的长．

17．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延长线交于点G．

（1）判断是否平分，并说明理由；

（2）求证：①；②．

18．（2021·湖南常德·中考真题）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．

（1）求证：；

（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．

①求证：；

②设与相交于点P，求证：．