2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点18直角三角形

考点18直角三角形

考点总结

1．直角三角形的性质

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；

（3）30°所对的直角边等于斜边长的一半．

2．勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

 

注意：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在这种关系．
②利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．

3．特殊三角形三边关系

4．勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为，,，且，那么这个三角形是直角三角形．

注意：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足时，是斜边，是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．

5．勾股数

满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股关系．
常见勾股数：，，；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等．

真题演练

一、单选题

1．如图，直线，点，，分别是，上的点，且于点，若，则的度数为（    ）

A．30° B．50° C．60° D．70°

2．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（    ）

A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定

3．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10

5．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2

6．将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）

A． B． C． D．

7．如图，直线直线分别与，交于点，，，且与的平分线交于，若，则的度数是（    ）

A．35° B．30° C．55° D．20°

8．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（    ）

A．3:4 B．5:8 C．9: 16 D．1:2

9．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（　　）

A．3个 B．4个 C．6个 D．8个

10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(     )

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

二、填空题

11．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则_______．

12．如图，正方形网格中，点，，，均在格点上，则______．

13．如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为__________．

14．如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝__．

三、解答题

16．在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作于点M，过点B作于点N．

 （1）求证：CM＝BN；

（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图形，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明；

17．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）与双曲线交于点A(2，n)

（1）求n及k的值；

（2）点B是x轴正半轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B坐标．

18．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．

（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；

（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．