2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点19多边形与平行四边形

考点19多边形与平行四边形

考点总结

1、多边形

（1）多边形的内角和

①连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

②多边形内角和公式：边形的内角和等于．

（2）多边形的外角和

①多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；

②在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；

③多边形的外角和等于．

（3）正多边形

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

2、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示,

如图，平行四边形记作“ ”.

3、平行四边形的性质

（1）边：平行四边形的对边相等；

（2）角：平行四边形的对角相等；

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分.

4、平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

5、三角形中位线

（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（2）三角形中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三条边，且等于第三条边长的一半.

如图：点、分别为、的中点，则是的中位线.

真题演练

一、单选题

1．下列多边形中，内角和最大的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【分析】

根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．

【详解】

解：A、是一个三角形，其内角和为180°；

B、是一个四边形，其内角和为360°；

C、是一个五边形，其内角和为540°；

D、是一个六边形，其内角和为720°；

∴内角和最大的是六边形；

故选D．

2．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（    ）

A．30° B．45° C．60° D．72°

【答案】B

【分析】

首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．

【详解】

解：设此多边形为n边形，

根据题意得：180°×（n-2）=1080°，

解得：n=8，

∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．

故选：B．

3．若一个多边形的每个外角都是，则该多边形的边数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】

根据多边形外角和始终为360°可直接进行求解．

【详解】

解：由多边形的每个外角都是可得该多边形的边数为；

故选C．

4．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）

A．100米 B．80米 C．60米 D．40米

【答案】B

【分析】

根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．

【详解】

解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，

∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，

∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．

故选：B．

5．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】

n边形的内角和公式为（n−2）•180°，由此列方程求n．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

则（n−2）•180°＝540°，

解得n＝5．

故选C．

6．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（     ）

A．两组对边分别平行 B．一组对边平行且另一组对边相等

C．两组邻边相等 D．对角线互相垂直

【答案】A

【分析】

根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．

【详解】

A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；

B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；

C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；

D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；

故选A．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（    ）

A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）

【答案】D

【分析】

根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．

【详解】

过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，

∴NE∥x轴，NF∥y轴，

∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，

∴NE=2，NF=1，

∴点N的坐标为(2，1)，

故选：D．

8．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1=55°，则∠A=（　　）

A．35° B．55° C．125° D．145°

【答案】C

【分析】

根据平行四边形的对角相等得出∠A=∠BCD，再根据平角等于180°列式求出∠BCD=125°，即可得解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=∠BCD，

∵∠1=55°，

∴∠BCD=180°-∠1=125°，

∴∠A=∠BCD=125°．

故选：C．

9．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.

【详解】

∵，

∴当时，，

解得：，

∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，

即：AO=BO=3，

∴O点为AB的中点，

又∵圆心C坐标为(0，4)，

∴OC=4，

∴BC长度=，

∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，

∴OE为△ABD的中位线，

即：OE=BD，

∵D点是圆上的动点，

由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，

∴BD的最小值为4，

∴OE=BD=2，

即OE的最小值为2，

故选：A.

10．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】D

【分析】

首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

 ∴BA∥CD，AB=CD，

 ∴∠DEA=∠EAB，

∵AE平分∠DAB，

 ∴∠DAE=∠EAB，

 ∴∠DAE=∠DEA，

 ∴DE=AD=3，

 ∴CD=CE+DE=2+3=5，

∴AB=5．

 故选：D．

二、填空题

11．如图，两条射线，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是____________（写出一个即可）．

【答案】或

【分析】

由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可填空．

【详解】

由平行四边形的判定条件即可填空为：或．

故答案为：或．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)．若四边形OABC是平行四边形，则平行四边形OABC的周长等于___．

【答案】14

【分析】

根据点A坐标，知边长OA=2，根据A、B两点坐标，利用距离公式算出AB长度，即可求出周长．

【详解】

解：，，

，，

∴平行四边形的周长为：．

故答案为：14

13．如图，在四边形中，，，是中点，过点作交于点，连接．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：

①_________；

②_________．

【答案】答案不唯一，如：       

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理求解即可．

【详解】

解：∵是中点，

∴F是AB的中点，EF为△ABD的中位线，

∴

∵

∴

在Rt△ABC中，，

∴AB是Rt△ABC的斜边

∴

∴

故答案为：；

14．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形．

【答案】六

【分析】

利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

【详解】

解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720÷180+2=6，

∴这个多边形的边数为6．

故答案为：六．

15．六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________．

【答案】360°

【分析】

根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．

【详解】

解：正六边形的外角和是．

故选：．

三、解答题

16．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；

（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）EF=．

【分析】

（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；

（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．

17．已知点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；再将线段终点逆时针旋转，得到线段；连接，取中点，连接，．

（1）当．

①如图1，点为中点时，补全图形，直接写出线段与的位置关系______．数量关系______．

②如图2，当点不为中点时，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．

（2）如图3，当，点为中点时，直接写出线段，，的数量关系______．

【答案】（1）①BM⊥CM；BM=CM；②BM⊥CM；BM=CM，见解析；（2）

【分析】

（1）①延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明△CAE≌△CPB，证明△CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；②的结论不变，证明方法与①类似；

（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角三角形即可

【详解】

（1）①如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，

∵M是AD的中点，

∴AM=MD，

∵BM=ME，

∴四边形AEDB是平行四边形，

∴AE=BD，AE∥BD，

∵PB=BD，

∴PB=AE，

∵∠CAP=60°，AC=AP，

∴△APC是等边三角形，

∴AC=PC，∠ACP=∠APC=60°，

∴∠CPB=120°，

∵∠CAP=60°，

∴∠PBD=120°，

∴∠BAE=60°，

∴∠CAE=120°，

∴∠CAE=∠CPB，

∴△CAE≌△CPB，

∴CE=CB，∠ACE=∠PCB，

∴∠ACE+∠PCE=∠PCB+∠PCE，

∴∠ACP=∠BCE=60°，

∴△CEB是等边三角形，

∵BM=ME，

∴BM⊥CM，

∴tan60°=，

∴CM=BM；

故答案为：BM⊥CM；CM=BM；

②关系为：BM⊥CM；CM=BM；理由如下：

如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，

∵M是AD的中点，

∴AM=MD，

∵BM=MF，

∴四边形AFDB是平行四边形，

∴AF=BD，AF∥BD，

∵PB=BD，

∴PB=AF，

∵∠CAP=60°，AC=AP，

∴△APC是等边三角形，

∴AC=PC，∠ACP=∠APC=60°，

∴∠CPB=120°，

∵∠CAP=60°，

∴∠PBD=120°，

∴∠BAF=60°，

∴∠CAF=120°，

∴∠CAF=∠CPB，

∴△CAF≌△CPB，

∴CF=CB，∠ACF=∠PCB，

∴∠ACF+∠PCF=∠PCB+∠PCF，

∴∠ACP=∠BCF=60°，

∴△CFB是等边三角形，

∵BM=MF，

∴BM⊥CM，

∴tan60°=，

∴CM=BM；

（2）如图3, 延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，

∵M是AD的中点，

∴AM=MD，

∵BM=MG，

∴四边形AGDB是平行四边形，

∴AG=BD，AG∥BD，

∵PB=BD，

∴PB=AG，

∵AP=PB=AC

∴AP=PB=AG=AC=BD，

∵∠CAP=45°，

∴∠PBD=135°，

∴∠BAG=45°，

∴∠CAG=90°，

∴∠CAN=∠GAN，∠ANC=90°，

∴AN=NC=NG=PB，

∴在直角三角形BCN中，

，

∴，

∴

18．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）2.5

【分析】

（1）连接OD，则OD⊥DE，利用中位线定理证明OD∥BC即可；

（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，正切的定义，求解即可；

【详解】

（1）证明：连接OD．

∵DE为⊙O的切线，

∴DE⊥OD

∵AO＝OB，D是AC的中点，

∴OD∥BC．

∴DE⊥BC

（2）解：连接DB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC，

∴∠CDB＝90°．

∵D为AC中点，

∴AB＝BC，

在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，

∵DE＝2，tanC＝，

∴，

由勾股定理得：DC＝，

在Rt△DCB中，∠BDC＝90°，

∴BD＝DC·tanC＝

由勾股定理得：BC＝5，

∴AB＝BC＝5，

∴⊙O的半径为2.5．