2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点20特殊的平行四边形

考点20特殊的平行四边形

考点总结

1、矩形的性质及常考

（1）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外还有如下性质：
①角：矩形的四个角都是直角；

②对角线：矩形的对角线相等.

（2）特殊矩形（如右图）

①等边三角形：，；

②含角的等腰三角形：，；

③含角的直角三角形：，，，．

2、矩形的判定

（1）有三个角是直角的四边形是矩形；

（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形.

3、菱形的性质及常考

（1）菱形是特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的所有性质，另外还有如下性质：

①边：菱形的四条边都相等；

②对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

（2）常考面积问题：

①菱形的面积底高；

②菱形的面积菱形对角线乘积的一半.

（3）特殊菱形（如右图）：

①等边三角形：，；

②含角的等腰三角形：，；

③含角的直角三角形：，，，．

4、菱形的判定

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边都相等的四边形是菱形.

5、正方形性质

（1）正方形是特殊的菱形，正方形具有菱形的所有性质，另外还有如下性质：

①角：正方形的四个角都相等，都为90°；

②对角线：正方形的两条对角线相等.

6、正方形判定（常考）

（1）一组邻边 相等 的矩形；

（2）有一个角是 直角 的菱形；

（3）对角线 互相垂直 的矩形；

（4）对角线 相等 的菱形；

真题演练

一、单选题

1．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

结合空间思维，分析折叠的过程及剪虚线的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．

【详解】

由条件可知，减掉的部分位置应在正方形中心位置，所以A、C排除，再根据虚线和正方形边的位置关系是不平行的，所以D项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证；

故选：D．

2．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　）

A．每一条对角线平分一组对角

B．对角线相等

C．对角线互相平分

D．对角线互相垂直

【答案】C

【分析】

矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．

【详解】

A、矩形的对角线不一定平分一组对角，故A错误；

B、矩形、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故B错误；

C、矩形，菱形，正方形的对角线均互相平分，故C正确；

D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D错误．

故选：C．

3．正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点．设AE=x，矩形的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（    ）

A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小

B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大

C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变

D．y与x之间不是函数关系

【答案】C

【分析】

设正方形的边长为，先根据正方形的性质得出，，再根据矩形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．

【详解】

设正方形的边长为

四边形ABCD是正方形，

，

四边形是矩形

又

，即

则矩形的面积

因此，y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变

故选：C．

4．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F．若EF＝1，则DE的长为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】

设AB＝x则BC＝2x，根据矩形ABCD中，，可得BD的长，证明，对应边成比例即可求出DE的长．

【详解】

设AB＝x，则BC＝2x

∵矩形ABCD中，

∴

∵

∴

∵

∴

∴，即

∴

故选：B．

5．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】

设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．

【详解】

设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，

∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合，

∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，

∴DH=a-x，EH=a-y，

∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠CHG=∠DEH，

∵∠D=∠C=90°，

∴△DEH∽△CHG，

∴，即：，

∴CG=，HG=，

在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，

∴x2=2a(x-y)，

∴n=CH+HG+CG=x++==2a，

∴==2，

故选：D．

6．如图，在中，，，，则的面积为(    )

A．6 B．12 C．24 D．48

【答案】C

【分析】

由勾股定理的逆定理得出，即，得出是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．

【详解】

∵四边形是平行四边形，

∴，，

∴，

∴，即，

∴是菱形，

∴的面积；

故选C．

7．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【详解】

解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，

设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，

则③和④的另一条边长分别为：y−a，b−a，

故大矩形的边长分别为：b−a＋x＋a＝b＋x，y−a＋x＋a＝y＋x，

故大矩形的面积为：（b＋x）（y＋x），其中b，x，y都为已知数，

故n的最小值是3．

故选：A．

8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）

A．10 B． C．6 D．5

【答案】D

【详解】

解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：AO=4，BO=3，∠AOB=90°，

根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB==5．

故选：D．

9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）

A． B．2 C．5 D．10

【答案】C

【详解】

分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，

∴∠AOB=90°，

∵BD=8，

∴OB=4，

∵tan∠ABD=，

∴AO=3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，

故选C．

10．已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（    ）

A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4

C．BC=2CM D．

【答案】B

【分析】

连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．

【详解】

如图，连接AC，

由题意知：EF垂直平分CD，

∴AC=CD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD，

∴AC=AD=CD=AB=BC，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；

∵AM垂直平分CD，

∴∠CAM=∠DAM=30°，

∴∠BAM=90°，

∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；

∵AB=2，

∴AC=CD=2，

∴AM=AC·cos30°=2×=，

∴BM===，故B项错误；

由AM垂直平分CD可得CM=CD，

又∵BC=CD，

∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确；

故选：B．

二、填空题

11．如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为_______．

【答案】

【分析】

根据题意，得，结合勾股定理的性质，计算得；再根据正方形的性质，得，，通过计算即可得到答案．

【详解】

根据题意得：

∴

∵正方形ABCD，正方形DEFG，

∴，

∵CE的长为3cm

∴

∴

故答案为：．

12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为：_______（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

如图，连接CE、CD，利用勾股定理求得AE、EC、CD、DA、AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．

【详解】

解：如图，连接CE、CD，

AE，

同理求得EC=CD=DA，AC，

∴AE=EC=CD=DA，

∴四边形AECD是菱形，

∵，

∴，

∴∠AEC=90，

∴菱形AECD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC，

故答案为：=．

13．图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的____°．

【答案】144

【分析】

根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明，可以先求出的度数，再根据三角形全等求出,进而得出的度数．

【详解】

在菱形中，

，

，

在 与中

故答案为：144

14．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．

【答案】

【分析】

取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM，根据三角形斜边上的中线性质得出，再根据三角形中位线性质得出,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线性质得出，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．

【详解】

解：取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM

在Rt△CDB中，O为斜边BC的中点

在△AOD中，AE=DE，AM=OM

在Rt△ACO中，AC=OC=2

在△CME中，

即CE最大值为．

故答案为：．

15．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，这是个______命题．（填“真”、“假”）

【答案】假．

【分析】

利用菱形的判定定理判断后即可确定正确的答案．

【详解】

对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题．

故答案为：假．

三、解答题

16．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；

（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）EF=．

【分析】

（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；

（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．

17．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接，若，求的长度．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，AC=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∵BE=CF，

∴BC=EF，

∴AD=EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90°，

∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD=10，

∴AD=AB=BC=10，

∵EC=4，

∴BE=10-4=6，

在Rt△ABE中，AE==8，

在Rt△AEC中，AC==，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC，

∴OE=．

18．数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点在内，求作四边形，使得，且，其中、分别在、上．

小明通过下面的过程解决了老师提出的问题：

作法：1．作于；

2．在上截取；

3．作于，交于；

4．连接，作于，交于．

所以，四边形为所求．

（1）图中已经完成了作法的第1步，但并没有用尺规去作，请把作法的第2至第4步用直尺和圆规在图中补全，并保留作图痕迹；

（2）请将小明的证明过程补充完整．

证明：作，交于

∵

∴四边形是矩形（______）（填写推理依据）

∵

∴矩形是正方形（______）（填写推理依据）

∴，

∵

∴______．

∴

∴．

【答案】（1）作图见详解；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；邻边相等的矩形是正方形；．

【分析】

（1）按题意工具进行作图即可；

（2）根据矩形和正方形的判定方法填写即可．

【详解】

解：（1）按题意作图如下

（2）∵，

∴四边形是矩形（有3个角是90°的四边形是矩形），

∵，

∴矩形是正方形（邻边相等的矩形是正方形）．

∴，

∵

∴．

∴

∴．