2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点21圆的有关性质

考点21圆的有关性质

考点总结

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

如右图，

2、垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

如右图，

归纳：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．简记为：“知二推三”．

3、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

（1）      （2）     （3）

3、圆周角定理的推论

（1）推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（2）推论二：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等．

（3）推论三：圆内接四边形的对角互补．

真题演练

一、单选题

1．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

方法1（特殊位置法）：

当时，为等边三角形，此时，AP边上的高可求得为，则，故选A．

方法2（求函数解析式）：

设AP的中点为H，作，如图所示．若，则利用勾股定理可求，此时．代人特殊值，如令，则，故选A．

2．如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴下方的部分记作，将沿轴翻折记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论，其中错误的是（    ）

A．图形恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

B．图形上任意一点到原点的距离都不超过1

C．图形的周长大于

D．图形所围成的区域的面积大于2且小于

【答案】C

【分析】

根据题意补充图形，根据图形的特点及圆的周长、面积公式即可依次判断．

【详解】

以原点为圆心，半径为1画O，及图形，如图，

A．图形恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别是（0，-1），（0.1），（1,0），（-1,0）故结论A正确；

B．图形上除点（0，-1），（0.1），（1,0），（-1,0）这4个整点外，上述4个整点到原点的距离都等于1，所以图形上任意一点到原点的距离都不超过1，故结论B正确；

C．∵O的周长为：×1=，图形上除点（0，-1），（0.1），（1,0），（-1,0）这4个整点外，其余各点都在半径为1的O内，

∴图形的周长小于，故结论C错误；

D．∵以原点为四个顶点的4个小正方形中，由图形与坐标轴围成的每个图形的面积都大于每个小正方形面积的一半，即面积都大于

×4=2，

∴图形所围成的区域的面积大于2，

∵半径为1的O面积为=，图形上除点（0，-1），（0.1），（1,0），（-1,0）这4个整点外，其余各点都在半径为1的O内，

∴图形所围成的区域的面积小于，

故结论D正确；

故选C．

3．在⊙O中按如下步骤作图：

（1）作⊙O的直径AD；

（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；

（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（　　）

A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD

【答案】D

【分析】

根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．

【详解】

解：根据作图过程可知：

AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴A选项正确；

∵BD＝CD，

∴＝,

∴∠BAD＝∠CBD，

∴B选项正确；

根据垂径定理，得

AD⊥BC，

∴C选项正确；

∵DC＝OD，

∴AD＝2CD，

∴D选项错误．

故选：D．

4．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦的距离为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】

由圆心角∠AOB=90°，可得△AOB是等腰直角三角形，作OC⊥AB，根据等腰直角三角形的性质可求得OC的长．

【详解】

解：如图，作OC⊥AB于点C,则AC=BC.

.∵圆心角∠AOB=90°，OA=OB，

∴△OAB是等腰直角三角形，∠A=45°.
∵OC⊥AB，
∴∠ACO=90°.

∴OC=OA=2．
故选：C．

5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，则的长为（    ）

A．2.5 B．4 C．5 D．10

【答案】C

【分析】

先根据垂径定理得出CE=DE=2，易得∠B=∠C，然后在Rt△ACE和Rt△BDE中分别利用∠C和∠B的正切求出AE与BE的长，进而可得答案．

【详解】

解：∵的直径垂直于弦，，

∴CE=DE=2，

在Rt△ACE中，∵，∴，∴AE=1，

∵∠B=∠C，

∴在Rt△BDE中，由，则，∴BE=4，

∴AB=AE+BE=5．

故选：C．

6．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据圆周角定理和弧角关系求解．

【详解】

解：如图，

∵AB为⊙O的直径，P在上，

∴∠APB=90°，

∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，

∴∠BPQ=25°，

∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，

∵点C、D将分成相等的三段弧，

∴，

∴∠BOD=，

∵∠BOQ<∠BOD，

∴Q在上，

故选D．

7．如图，点，，在上，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

连接AB，则由∠AOB=100°、OA=OB，可求得∠OAB=∠OBA及其度数，进而可得∠ABC的度数，由圆周角定理可求得∠C的度数，在△ABC中可求得∠CAB的度数，从而可得∠OAC的度数．

【详解】

如图，连接AB

则OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°

∵∠C

∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°

∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°

故选：C．

8．如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由平角定义解得的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解题．

【详解】

解：

故选：B．

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=50°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．65° C．75° D．130°

【答案】B

【分析】

首先证明∠DAC=∠CAB=25°，再证明∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可解决问题．

【详解】

解：∵BC=CD，

∴,

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠DAB=50°，

∴∠CAB=×50°=25°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=90°﹣25°=65°，

故选：B．

10．如图，点，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是（    ）

A．的大小改变 B．点到弦所在直线的距离存在最大值

C．线段与的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变

【答案】B

【分析】

根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、因为点，是上的定点，所以所对的圆周角的大小不变，故A错误；

B、连接PO，当PO⊥AB时，此时点到弦所在直线的距离最大，故B正确；

C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近AB，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误；

D、阴影部分面积分为弓形AB面积和△ABP面积之和，弓形面积不变，而点P到AB距离不一定，所以△ABP面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；

故选：B．

二、填空题

11．如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，恰好经过点，，，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC 与∠AOD大小关系为：∠ABC ____∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

分别连接、；结合题意，根据圆周角和圆心角的性质，得；根据垂径定理，得，从而得，即可得到答案．

【详解】

如图，分别连接、

∵恰好经过点，，

∴

∵OD为与网格线重合的一条半径

∴

∴

∴

∴

故答案为：＝．

12．数学课上，李老师提出如下问题：

已知：如图，是⊙O的直径，射线交⊙O于．

求作：弧的中点D．

同学们分享了如下四种方案：

①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．

②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．

③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．

④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．

上述四种方案中，正确的方案的序号是_________________．

【答案】①②③④

【分析】

根据作图方法，逐个推理证明即可．

【详解】

解：①如图1，由作图可知，BC的垂直平分线经过圆心O，因为OD⊥BC，所以，点D是弧的中点；

②如图2，连接BC，∵是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥AC，

∴OD⊥BC，

所以，点D是弧的中点；

③如图3，

∵∠BAD=∠CAD，

所以，点D是弧的中点；

④如图4，连接AD，

∵是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AE=AB，

∴∠BAD=∠CAD，

所以，点D是弧的中点；

故答案为：①②③④．

13．如图，在中，，，半径，则________．

【答案】2

【分析】

连结OA、OB、AC、BC，则由AC=BC可以推得弧AC=弧BC，由垂径定理可得AD=BD，OD⊥AB，再根据勾股定理可以得到OD的值，最后可以算得CD的值．

【详解】

解：连结OA、OB、AC、BC，

∵AC=BC，

∴弧AC=弧BC，

∴OD⊥AB，AD=BD=4，

∵OA=5，

∴在RT△OAD中，OD=，

∴CD=OC-OD=5-3=2，

故答案为2．

14．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 _______cm．（结果保留一位小数）

【答案】8.9

【分析】

根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．

【详解】

由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，

由勾股定理得，，

圆的周长为：(cm)．

故答案为：8.9．

15．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．

甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．

乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．

丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．

甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．

【答案】甲、乙

【分析】

根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数n的值．

【详解】

∵矩形长为12宽为6，
∴矩形的对角线长为：，

∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于，

∵，

∴该正方形边长的最小整数n为14．
故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，结果也正确；

乙的思路正确，长方形对角线就是圆的直径最长，只要圆能通过就可以，结果也正确；
丙的思路错误，长方形对角线最长，只要对角线能通过才可以，故丙的思路与结果都错误；

故答案为：甲、乙．

三、解答题

16．如图，M是弦与弧所围成的图形的内部的一个定点，P是弦上一动点，连接并延长交弧于点Q，连接．

已知，设A，P两点间的距离为，P，Q两点间距离为，两点间距离为．

小明根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值，补全下表：

（2）在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点和并画出函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约_________．（精确到0.1）

【答案】（1）2.33（2.0-2.5之间均给分）；（2）详见解析；（3）、、

【分析】

（1）定好点P的位置，测量可得；

（2）在平面直角坐标系中，描点，画图即可；

（3），化出其函数图象，根据等腰三角形的性质，结合函数图象进行回答即可．

【详解】

解：（1）定好点P的位置，连接PM交于点Q，测量可得2.33（2.0-2.5之间均给分）

（2）如图所示：

（3）如图所示，函数图象交点的横坐标即为所求：

、、

17．如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5cm，点 P 是弦 AB 上的一个定点，点 C 是弧 AB 上的一 个动点，连接 CP 并延长，交⊙O 于点 D．

小明根据学习函数的经验，分别对 AC，PC，PD 长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）对于点 C 在弧 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AC，PC，PD 的长度的 几组值，如下表：

在 AC，PC，PD 的长度这三个量中，确定＿＿＿的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；

（2）请你在同一平面直角坐标系 xOy 中， 画（1）中所确定的两个函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

①当 PC=PD 时，AC 的长度约为      cm；

②当△APC 为等腰三角形时，PC 的长度约为      cm.

【答案】（1）AC；（2）见解析；（3）①2.9，②0.69cm或1cm或0.8cm．

【分析】

（1）根据变量和函数的定义结合题意分析即可；

（2）根据表中数据描出部分点，然后连线即可；

（3）①两函数图象交点处的横坐标就是PC=PD时AC的长度；

②求出AP＝1cm，然后分AP＝AC，AP＝PC和AC＝PC三种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）由于PC和PD随着AC的变化而变化，

∴确定AC的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数，

故答案为：AC；

（2）函数图象如图所示：

（3）①由函数图象得：当PC=PD时，AC的长度约为2.9cm；

②∵当AC＝0时，点A和点C重合，此时PC＝1cm，

∴AP＝1cm，

当AP＝AC＝1cm时，由表格得，PC＝0.69cm，

当AP＝PC＝1cm时，则PC＝1cm，

当AC＝PC时，如图，由函数图象得，PC≈0.8cm，

综上所述，PC的长度约为0.69cm或1cm或0.8cm．

18．已知：，B为射线AN上一点．

求作：，使得点C在射线AM上，且．

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；

②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；

③连接FB，交射线AM于点C．

就是所求作的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接BD，EF，AF，

∵点B，E，F在上，

（__________）（填写推理的依据）．

∵在中，，

___________．

．

【答案】（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

【分析】

（1）根据题干描述即可直接作图．

（2）根据圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等即可填空．

【详解】

解：（1）如图即为所求．

（2）根据圆周角定理即可填写“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”；由同弧或等弧所对圆心角相等即可填写“”．

故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，．