2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点22与圆有关的位置关系

考点22与圆有关的位置关系

考点总结

1、与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内；

（2）直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交；如下图：




 

如图（1），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
如图（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

如图（3），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
 

设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d：

直线l和⊙O相交有两个公共点
直线l和⊙O相切只有一个公共点
直线l和⊙O相离没有公共点

2、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理中“经过半径的外端”与“垂直于这条半径”两个条件缺一不可．

判定方法：
（1）直线与圆有唯一公共点；
（2）常用判定方法：①连半径证垂直  ②作垂直证半径．
 

3、切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径．

注：（1）切线和圆有唯一公共点；
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径．

4、切线长定理
定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
 

5、三角形的外接圆与内切圆

（1）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

（2）外接圆：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点．

真题演练

一、单选题

1．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（    ）

A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定

3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2

4．如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交于点C，连接OA，OB，BC．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）

A． B．

C． D．

6．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=OA，则∠C等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

8．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上.有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④

9．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A＝34°，那么∠C等于(   )

A．28° B．33° C．34° D．56°

二、填空题

11．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为_________．

12．如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．

14．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．

15．如图，是的切线，是切点．若，则______________．

三、解答题

16．如图，在中，，是的弦，为的中点，连接，，分别交于点，点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

17．对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于⊙G的旋转点．下图为点P及其关于⊙G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，－2）．

（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是        ；

（2）若在直线上存在点P关于⊙O的旋转点，求的取值范围；

（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标P＇的取值范围．

18．对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”．已知，

（1）在中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；

（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线．

①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；

②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围．