2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点30概率及有关计算

考点30概率及有关计算

考点总结

1、事件分类

（1）必然事件：确定一定会发生的事件称为必然事件．必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1．

（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．如果A为随机事件，那么

0＜P(A)＜1．

（3）不可能事件：确定一定不会发生的事件称为不可能事件．不可能事件的概率为0，

即P（不可能事件）=0．

2、概率

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．

随机事件的概率P(A)=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数．

3、列举法、树状图法求概率

（1）当实验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．

4、用频率估计概率

从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着实验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．

真题演练

一、单选题

1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．

【详解】

解：由题意得：

∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是；

故选C．

2．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么指针同时落在偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

此题可以采用列表法或者树状图法列举出所有情况，看指针同时落在偶数的情况占总情况的多少即可．

【详解】

解：列表得，

共有5×5=25种可能，指针同时落在偶数的结果有（2，2）、（2，4）、（2，6）、（4，2）、（4，4）、（4，6）共6种，

所以指针同时落在偶数的概率是．
故选：B．

3．桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据概率的公式计算即可．

【详解】

解：因为共5张卡片，其中带有光盘行动字样的有2张，

所以从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是，

故选：．

4．如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意得取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，进而问题可求解．

【详解】

解：由题意得：取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，

∴取到的数恰好是3的整数倍的概率是；

故选B．

5．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着汉字“三”，“帆”，除文字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其文字后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其文字，那么两次记录的文字可以组成“三帆”一词的概率是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的文字可以组成“三帆”一词的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

解：列表如下：

由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次记得文字可以组成“三帆”一词的有2种结果，

所以两次记录的文字可以组成“三帆”一词的概率是=.

故选：A.

6．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】

求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案．

【详解】

解：∵每个扇形大小相同

∴灰色部分面积和空白部分的面积相等

∴落在空白部分的概率为：

故选B．

7．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复（猫春图），就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先画树状图（或列表）求出所有等可能结果，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况占几种结果，用这个结果数比以总结果数即得答．

【详解】

解：东风纸鸢用a表示，其他六张用1、2、3、4、5、6表示

画树状图得：

∵每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，

共有49种等可能的结果，她两次都抽到“东风纸鸢”有1种情况，

∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是：．

故选择：C．

8．如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．

【详解】

解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，

小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，

所以，最终从点E落出的概率为．

故选：B．

9．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：

请你估计袋子中白球的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，据此根据概率公式可得答案．

【详解】

解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，
∴在袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，
设白球有x个，
则=0.4，
解得：x=2，
故选：B．

10．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】

依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．

【详解】

解：随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，共有4种等可能的结果，两次正面都朝上的情况有1种，概率是．

故答案为：．

二、填空题

11．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是_____．

【答案】

【分析】

根据一共有6种等可能结果，确定抽到含“红”字的主题卡片的可能数，利用概率公式可求．

【详解】

解：一共有六张完全相同的卡片，含“红”字的主题卡片有2张，

抽到含“红”字的主题卡片的概率是，

故答案为：．

12．同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．

下面有两个推断：

①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；

②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558；

其中合理的推断的序号是：________．

【答案】①②

【分析】

此题结合频率与概率相关知识解题即可找出答案．

【详解】

推断正确，符合频率估计概率的思路，

推断正确，该事件是随机事件，所以再次实验频率自然也不一定与前一次相同，

故答案为：①②

13．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：

从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________．

【答案】0.8．

【分析】

根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论．

【详解】

由表格可知这100户中，

有户为第二档人，

∴，

故答案为：0.8．

14．有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：

根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为__________（精确到0.001）

【答案】0.166

【分析】

利用概率=出现的结果数÷数据总数，代入数据进行求解即可得到答案．

【详解】

解：由题目表格知

数据总数=300+400+500+600+700+800+900+1000=5200

出现点数为“1”次数=52+65+80+99+114+136+151+166=863

∴“出现点数为1”的概率=出现点数为“1”次数÷数据总数=863÷5200≈0.166

故答案为：0.166．

15．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．

下面有四个推断：

①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；

②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；

③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；

④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40

所有合理推断的序号是_____．

【答案】②③

【分析】

利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论．

【详解】

解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；

②推断合理；

③20×0.35=7，故推断合理；

④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理．

故答案为：②③．

三、解答题

16．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年月日至月日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

（收集数据）从甲、乙两校各随机抽取名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：

（整理、描述数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

(说明：优秀成绩为，良好成绩为、合格成绩为 )

（分析数据）两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：

其中          

（得出结论）（1）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是          校的学生；(填“甲”或“乙”)

（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_____；

（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

【答案】【分析数据】80；【得出结论】（1）甲；（2）；（3）选乙，理由见解析

【分析】

-【分析数据】由原始数据根据众数的概念可得；
【得出结论】（1）根据两个学校成绩的中位数判断可得；
（2）利用概率公式进行计算即可；
（3）根据平均数和中位数这两方面的意义解答可得．

【详解】

解：【分析数据】∵乙校的20名同学的成绩中80分出现次数最多，
∴众数为80分，即a=80；
【得出结论】（1）∵甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
∴由表中数据可知小明是甲校的学生；

（2）∵乙校的20名同学的成绩中80分以上的有2人；

∴从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为：；

（3）∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，
∴乙校的成绩较好．

17．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这40名被调查者中，

①指标低于0．4的有　　人；

②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则   ，   (填“>”，“=”或“<”)；

（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有    人；

（3）若将“指标低于0．3，且指标低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．

【答案】（1）①9；② <，>；（2）100；（3）0.25

【分析】

（1）①直接统计指标低于0．4的有人的个数即可；

②通过观察图表估算出指标、的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．

（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标低于0．3的概率,然后500乘以该概率即可；

（3）通过观察统计图确定不在“指标低于0．3，且指标低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．

【详解】

解：（1）①经统计指标低于0．4的有9人 ,故答案为9；

②观察统计图可以发现，大约在0.3左右，大约在0.6左右，故＜；

观察图表可以发现，x指标的离散程度大于y指标，故＞；

故答案为<、>；

（2）由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标低于0．3的大约有4人，则概率为；所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有500×=100人．

故答案为100；

（3）通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标低于0．3，且指标低于0．8”，漏判；则被漏判的概率为=0.25.

答：被漏判的概率为0.25.

18．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为　   　；估计全校非常了解交通法规的有　   　人．

（2）补全条形统计图；

（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．

【答案】（1）90°，1200；（2）详见解析；（3）．

【分析】

（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例，由总人数可求全校非常了解交通法规的人数即可得；

（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．

【详解】

解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60（人），

∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，

全校非常了解交通法规的有：3000×40%＝1200（人），

故答案为：90°，1200；

（2）D类别人数为60×5%＝3，

则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，

补全条形图如下：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，

所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为＝．