2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点03 一元一次方程

考点03 一元一次方程

考点总结

知识点一 一元一次方程的基础

等式的概念：用等号表示相等关系的式子。

注意：

1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。

2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

特征：它含有未知数，同时又是—个等式。

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）

【特征】

1. 只含有一个未知数x

2. 未知数x的次数都是1

3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。

方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。

知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）

等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

      表示为：如果a=b，则a±c=b±c

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

表示为：如果 a=b，那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)，那么 =

【注意事项】

1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。　　　　　　　　　　          

2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。

3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.

4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。

知识点三 解一元一次方程

合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。

移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1）

去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。

去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。

解一元一次方程的基本步骤：

知识点四 实际问题与一元一次方程

用方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系;

设：用代数式表示实际问题中的基础数据;

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;

解：求解;

验：考虑求出的解是否具有实际意义;

答：实际问题的答案.

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．它是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，如图也是一个洛书，上面只有部分数字可见，则x对应的数是（　　）

A．1 B．4 C．6 D．8

【分析】直接利用任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，得出等式进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：x+3+15＝5+11+8，

解得：x＝6．

故选：C．

2．（2021•路北区三模）已知2×m＝1，则m表示数（　　）

A． B． C．2 D．﹣2

【分析】根据已知方程求出m的值即可．

【解答】解：方程2×m＝1，

解得：m＝，

则m表示的数为．

故选：A．

3．（2021•衡水模拟）下列等式变形正确的是（　　）

A．若2x＝1，则x＝2 

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 

C．若2x＝3，则x＝ 

D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

【分析】根据等式的性质逐个判断即可．

【解答】A、若2x＝1，则x＝，故本选项错误，不符合题意；

B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故本选项错误，不符合题意；

C、若2x＝3，则x＝，故本选项正确，符合题意；

D、若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故本选项错误，不符合题意；

故选：C．

4．（2021•新华区模拟）长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（　　）

A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 

C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284

【分析】根据长江比黄河长836km，设长江长度为xkm，即可得到黄河的长度为（x﹣834）km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

6（x﹣836）﹣5x＝1284，

故选：D．

5．（2021•新华区校级模拟）下列等式变形正确的是（　　）

A．若2x＝1，则x＝2 

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 

C．若﹣2x＝3，则 

D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

【分析】根据等式的性质即可解决．

【解答】解：A、若2x＝1，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；

B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意；

C、若﹣2x＝3，则x＝﹣，原变形正确，故这个选项符合题意；

D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符合题意；

故选：C．

6．（2021•保定模拟）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800x 

C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x

【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．

【解答】解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得

1000（26﹣x）＝2×800x．

故选：C．

7．（2021•海港区模拟）下列变形中，正确的是（　　）

A．若a＝b，那么a+c＝b﹣c B．若﹣3x＝5，则x＝﹣ 

C．若a＝b，那么＝ D．若﹣x＝1，则x＝﹣3

【分析】根据等式的性质一一判断即可．

【解答】解：A、错误．若a＝b，那么a+c＝b+c；

B、错误．若﹣3x＝5，则x＝﹣；

C、错误．c＝0时，不成立；

D、正确．

故选：D．

8．（2020•襄阳二模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝

【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：设合伙人数为x人，

依题意，得：5x+45＝7x+3．

故选：B．

9．（2020•路南区一模）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到下一步所给步骤有的产生了错误，则其中没有错误的是（　　）

解方程：．

①；

②2（10x﹣30）﹣5（10x+40）＝160；

③20x﹣60﹣50x+200＝160；

④﹣30x＝300．

A．① B．② C．③ D．④

【分析】依次分析4个运算过程，根据运算法则即可判断．

【解答】解：A、过程①中1.6变成16，错误，本选项不符合题意；

B、过程②去分母正确，本选项符合题意；

C、过程③去括号时应该为﹣200，错误，本选项不符合题意；

D、过程④移项及合并同类项时应该化简为﹣30x＝20错误，本选项不符合题意；

故选：B．

10．（2020•河北二模）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．x+5（12﹣x）＝48 B．x+5（x﹣12）＝48 

C．x+12（x﹣5）＝48 D．5x+（12﹣x）＝48

【分析】等量关系为：1×1元纸币的张数+5×5元纸币的张数＝48．

【解答】解：1元纸币为x张，那么5元纸币有（12﹣x）张，

∴x+5（12﹣x）＝48，

故选：A．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•保定模拟）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　；

（2）运动1秒时，点P表示的数是 　0　；

（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动 　6　秒时，点P与点Q相遇．

【分析】（1）由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；

（2）利用1秒后点P表示的数＝点A表示的数﹣点P运动的速度×运动时间，即可求出结论；

（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t，由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）∵A、B两点间的距离为10，点A表示的数为6，且点B在点A的左侧，

∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4，

故答案为：﹣4；

（2）运动1秒时，点P表示的数为6﹣6＝0，

故答案为：0；

（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t．

依题意，得：6﹣6t＝﹣4﹣4t，

解得：t＝5，

∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，

故答案为：5．

12．（2020•迁西县模拟）设代数式A＝﹣2，代数式B＝，a为常数．观察当x取不同值时，对应A的值，并列表如下（部分）：

当x＝1时，B＝　1　；若A＝B，则x＝　　．

【分析】根据表格得：当x＝1时，A＝2，列出方程即可得到a的值，代入B中即可得到B的值；根据A＝B列出方程，解方程即可得出答案．

【解答】解：根据表格得：当x＝1时，A＝2，

∴，

∴a＝6，

∴B＝＝1；

∵A＝B，

∴﹣2＝，

解得x＝；

故答案为：1；．

13．（2020•高阳县模拟）我们规定：如果关于x的一元一次方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．

（1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝m是“和解方程”，则m的值为 　　．

（2）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，则方程的解为 　x＝　．

【分析】（1）根据和解方程定义，把x＝﹣2+m代入原方程解关于m的方程即可；

（2）根据和解方程定义可以得到mn+n＝x+2，代入即可求出关于x方程的解．

【解答】解：（1）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝m是“和解方程”，

∴x＝﹣2+m，

∴代入原方程得：﹣2（﹣2+m）＝m，

∴m＝．

（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程“，

∴x＝mn+n﹣2，

∴mn+n＝x+2，

代入原方程得：﹣2x＝x+2，

∴x＝﹣．

故答案为：（1），（2）x＝﹣．

14．（2020•孟村县模拟）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⋆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1.2）⋆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：

（1）若有理数对（﹣3，2x﹣1）⋆（1，x+1）＝7，则x＝　1　；

（2）当满足等式（﹣3，2x﹣1）⋆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，则整数k的值为 　1或﹣1或﹣2或﹣4　．

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出x的值；

（2）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．

【解答】解：（1）根据题意化简得：2x﹣1+3x+3＝7，

移项合并得：5x＝5，

解得：x＝1；

故答案为：1；

（2）∵等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝5+2k的x是整数，

∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x+k）＝5+2k，

∴（2k+3）x＝5，

∴x＝，

∵k是整数，

∴2k+3＝±1或±5，

∴k＝1，﹣1，﹣2，﹣4．

故答案为：1或﹣1或﹣2或﹣4．

15．（2020•邢台二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝　7　；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝　2　．

【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值进而可得结果．

【解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，

将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，

得a＝7，

所以．

故答案为：7；2．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•衡水模拟）定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，都有a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右边是通常的加法、减法运算，如a＝2，b＝1时，a⊗b＝2+1＝3，a⊕b＝2﹣1＝1．

（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；

（2）化简：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab；

（3）若2x⊗1＝﹣（x﹣2）⊕4，求x的值．

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；

（2）原式利用已知的新定义计算即可求出值；

（3）已知等式利用已知的新定义计算求出x的值即可．

【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）＝（﹣2）+3+4﹣（﹣2）＝1+6＝7；

（2）根据题中的新定义得：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab＝a2b+3ab+5a2b﹣4ab＝6a2b﹣ab；     

（3）由2x⊗1＝﹣（x﹣2）⊕4，可得，2x+1＝﹣（x﹣2）﹣4，

整理得：3x＝﹣2﹣1，

解得：x＝﹣1．

17．（2021•桥西区模拟）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方﹣﹣九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．

（1）请求出中间行三个数字的和；

（2）九宫图中m，n的值分别是多少？

【分析】（1）列式（﹣7）+1+9，计算即可；

（2）根据（1）的计算结果列出关于m、n的方程可得结果．

【解答】解：（1）（﹣7）+1+9＝3．

答：中间行三个数字的和是3．

（2）由（1）得：﹣5+9﹣m＝3，

解得m＝﹣1；

n+1+m＝3，即n+1﹣1＝3，

解得n＝3．

答：m＝﹣1，n＝3．

18．（2021•竞秀区一模）老师在黑板上写下了下面的等式，让同学自己出题，并作出答案．

7+▢﹣5×〇＝38

请你解答下列两个同学所提出的问题．

（1）甲同学提出的问题：当〇代表﹣2时，求▢所代表的有理数；

（2）乙同学提出的问题：若▢和〇所代表的有理数互为相反数，求〇所代表的有理数．

【分析】（1）当〇代表﹣2时，□所代表的有理数设为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可；

（2）当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，﹣a，根据题意列出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）当〇代表﹣2时，□所代表的有理数为x，

根据题意得：7+x+10＝38，

解得：x＝21，

则甲提出的问题：□所代表的有理数为21；

（2）当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，﹣a，

根据题意得：7+a+5a＝38，

解得：a＝，

则﹣a＝﹣

则乙提出的问题：〇所代表的有理数为﹣．