2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点09 分式方程

考点09 分式方程

考点总结

知识点一：分式的基础

概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

与分式有关的条件：

知识点二：分式的运算（重点）

基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，

其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

         分式的约分

约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。

分式约分步骤：

1）提分子、分母公因式

2）约去公因式

3）观察结果，是否是最简分式或整式。

注意：

1.约分前后分式的值要相等.

2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.

3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式

         分式的通分

通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

分式通分的关键：确定最简公分母

确定分式的最简公分母的方法

1.因式分解

2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；

3.字母：各分母的所有字母的最高次幂

4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂

5.积

约分与通分的相同点：

         分式的四则运算与分式的乘方

1）分式的乘除法法则：

用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

注意：

1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。

3）分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

5)分式混合运算的运算

运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；

2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；

3.确定分式的符号，然后约分；

4.结果应是最简分式.

         整数指数幂

                                 

       

                                 

        （）

                                  

        （）

        （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

         科学记数法

有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)

注意：

1）1≤︱a︱＜10

2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）

知识点三 分式方程

解分式方程的基本

1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。

2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。

3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，

若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解  

若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解

4）写出答案

增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。

分式方程解决实际问题的步骤：

1. 根据题意找等量关系

2. 设未知数

3. 列出方程

4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）

5. 写答案

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北一模）一辆快车和一辆慢车同时从甲地出发，沿同一路线到乙地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，且快车比慢车先到，设慢车的速度为xkm/h，若这一路线长为450km，那么下面所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2021•顺平县二模）瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50%，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（　　）

A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h

3．（2021•古冶区一模）如图是小明同学解方程＝﹣1的过程．

针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）

A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错 

C．从第三步开始有错 D．完全正确

4．（2021•河北模拟）石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（　　）

A．＝3 B．＝3 

C．＝3 D．＝3

5．（2021•古冶区一模）以下是小明同学解方程的过程：

解：方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），第一步

即x+x＝﹣2+1+3，第二步

解得，x＝1，第三步

检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0，

所以原方程的解是x＝1．第四步

针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）

A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错 

C．从第三步开始有错 D．完全正确

6．（2021•平泉市一模）由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育厅要求各学校做好复课准备．某校计划对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则下列符合题意的方程是（　　）

A．﹣1.2＝ B．+2＝ 

C．+1.2＝ D．+2＝

7．（2021•潼南区一模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B． 

C．＝﹣40 D．＝

8．（2021•衡水模拟）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　）

A． B．2 C．或2 D．1或﹣2

9．（2021•定兴县一模）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（2021•石家庄一模）定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（　　）

A． B．或10 C．10 D．或

二．填空题（共5小题）

11．（2021•唐山一模）分式方程：的解为 　   　．

12．（2021•新华区模拟）x＝﹣1是方程的解，a的值为　   　．

13．（2020•铜仁市一模）方程﹣＝0的解为x＝　   　．

14．（2020•滦州市二模）若，则m的值为 　   　．

15．（2020•邢台一模）对于任意非零实数m、n，规定m⊗n＝，例如：2⊗3＝，则（﹣2）⊗1　   　1⊗（﹣2）（填“＞”，或“＜”或“＝”），若x⊗3＝（x﹣1）⊗（﹣4），则x＝　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2020•新华区校级一模）（1）计算：﹣（π﹣3）0+（﹣1）2019﹣|﹣2|；

（2）解方程：＝﹣1

17．（2020•复兴区一模）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元．

（1）分别求出甲、乙两车每趟的运费；

（2）若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？

（3）若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数．

①当x＝10时，y＝　   　；当y＝10时，x＝　   　；

②用含x的代数式表示y；

探究：

（4）在（3）的条件下：

①用含x的代数式表示总运费w；

②要想总运费不大于4000元，甲车最多需运多少趟？

18．（2020•深圳模拟）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批饮料进货单价多少元？

（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？