2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点10 二次根式

考点10 二次根式

考点总结

知识点一 二次根式的有关概念和性质

二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】

1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的性质：

1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3．当a≧0时，

知识点二 二次根式的运算

二次根式的乘法法则:

【注意】

1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

:

3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。

二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：

化简二次根式的步骤（易错点）：

1.把被开方数分解因式(或因数) ；

2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√?)^2=?（?≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式的除法法则：

【注意】

1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。

2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。

二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：

二次根式的特点：

1.被开方数不含分母，例： ；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：   。

【二次根式运算中的注意事项】

一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

二次根式比较大小：

1、若，则有；

2、若，则有．

3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。

二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。

注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•滦南县二模）下列计算错误的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2021•唐山一模）实数（﹣1）0的值是（　　）

A．1﹣ B．﹣1 C．1 D．﹣1

3．（2021•遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）

A．8 B．19 C．6 D．2﹣6

4．（2021•河北）与结果相同的是（　　）

A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1

5．（2021•桥西区模拟）下列计算结果正确的是（　　）

A．a3•a2＝a6 B．﹣＝ 

C．＝±9 D．a3÷b•＝

6．（2021•石家庄一模）下列计算正确的是（　　）

A．+＝ B．﹣＝﹣1 C．×＝ D．÷＝

7．（2020•丰南区二模）下列运算正确的是（　　）

A．（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 B．+＝ 

C．a4•a﹣2＝a2 D．（﹣）﹣1＝5

8．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则（　　）

A．a＞1 B． C． D．

9．（2020•邢台二模）下列计算正确的是（　　）

A．|﹣2|＝﹣2 B．＝±2 

C．＝﹣2 D．

10．（2020•丰润区一模）使得式子有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4

二．填空题（共5小题）

11．（2021•开平区一模）已知x＝，y＝，则＝　   　．

12．（2021•河北模拟）3+＝a，则ab＝　   　．

13．（2021•路南区二模）已知×＝4，则n＝　   　．

14．（2021•平泉市一模）计算：×＝　   　．

15．（2021•河北模拟）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•唐山一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．

（1）嘉嘉认为污染的数为﹣3，计算“A+B”的结果；

（2）若a＝3+，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A﹣B”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．

17．（2021•安次区一模）利用平方差公式可以进行简便计算：

例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；

例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．

请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：

（1）×；

（2）（2021+2021）（﹣）．

18．（2020•遵化市二模）利用平方差公式可以进行简便计算：

例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；

例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．

请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：

（1）；

（2）（2019+2019）（﹣）．