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2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点11 一次函数
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考点11 一次函数
考点总结
知识点一 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】
1、 有两个变量。
2、 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点
1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
3、 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
知识点二 一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
总结如下：
k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。
k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）
k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）
k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数）
k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。
k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）
k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）
k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数）
直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．
k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。
一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。
1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴
2、当,则b=0，直线过原点
3、当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴
在两个一次函数表达式中： 直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2 的位置关系
k相同， b也相同时，两一次函数图像重合；
k相同， b不相同时，两一次函数图像平行；
k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
k不相同，b相同时， 两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2
两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 。即：
两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:
直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=
知识点三 一次函数与方程（组）、不等式
一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.
一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数 ）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。
由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•高阳县模拟）一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣2022，kb＝2021，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣2022，kb＝2021，
∴k＜0，b＜0
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，
故选：D．
2．（2021•桥东区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，且l1与l2交于点C，若点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】根据直线的解析式求得A、B、C的坐标，然后根据点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），得到关于m的不等式组，解得不等式组即可求得．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（3，0），
由解得，
∴C（，﹣），
∵点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），
∴，
∴，
∴﹣＜m＜0，
故选：C．
3．（2021•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，a），D（6，a）和E（6，0）．若直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则a＝（ ）
A． B． C．4 D．3
【分析】设直线l：y＝﹣x+将多边形OABCD的边交于点F、G两点，根据一次函数关系式求出点F、G的坐标，得FO＝，GE＝，求出S四边形OFGE＝＝，根据直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，得关于a的方程，即可求解．
【解答】解：设直线l：y＝﹣x+将多边形OABCD的边交于点F、G两点，
当x＝0时，y＝＝﹣x+＝，
∴FO＝，
当x＝6时，y＝﹣x+＝，
∴GE＝，
∴S四边形OFGE＝＝，
∵直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，
∴S多边形OABCDE＝2S四边形OFGE＝2×＝33，
∴4×6+2a＝33，
解得a＝．
故选：A．
4．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的整数值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜7．
∴m的整数值有5个．
故选：B．
5．（2021•乐亭县一模）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．
【分析】根据反比例函数图象的增减性可得a＜0，根据图象与y轴的正半轴相交可得a+2＞0，所以﹣2＜a＜0．
【解答】解：∵图象与y轴的正半轴相交，
∴a+2＞0得a＞﹣2，
∵图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴﹣2＜a＜0．
故选：B．
6．（2021•保定模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a，b的方程组，解之即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），
∴，
解得：k＝﹣2．
故选：A．
7．（2021•石家庄一模）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质，确定y1，y2的值的大小亦可）．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，
当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．
∵﹣3＞﹣8，
∴y1＞y2．
故选：B．
8．（2021•石家庄模拟）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲园的门票为60元，故选项A正确；
乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
＝0.5，
即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；
若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝348（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），
∵348＞340，
∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；
故选：D．
9．（2021•清苑区模拟）如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．4 元 B．5 元 C．6 元 D．7 元
【分析】利用待定系数法可分别求得直线OA、AB的函数解析式，再分别求得两种方式所需费用，即可求得答案．
【解答】解：
由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y＝kx，则2k＝20，解得k＝10，
∴直线OA解析式为y＝10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y＝10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y＝tx+b，
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝8x+4（x＞2），
∴当x＝5时，y＝44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44＝6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
故选：C．
10．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜7．
m取整数有5个解．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•路南区一模）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B2：点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B3；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为：
（1）B3（ 4，12 ）；
（2）B6（ 32，96 ）；
（3）Bn（ 2n﹣1，3×2n﹣1 ）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．
【解答】解：（1）∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，3），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1A2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，6），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，12），
（2）依此类推，A6的坐标为（32，0），B6的坐标为（32，96）．
（3）点An的坐标为（2n﹣1，0），点Bn的坐标为（2n﹣1，3×2n﹣1）．
故答案为：（1）4，12；（2）32，96；（3）2n﹣1，3×2n﹣1．
12．（2021•保定模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 0＜m＜4 ．
【分析】直线y＝﹣x+3，当y＝1时，可得x＝4，即可得到0＜m＜4．
【解答】解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：
在y＝﹣x+3中，当y＝1时，1＝﹣x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
故答案为：0＜m＜4．
13．（2020•定州市二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是（0，4），则点C的坐标为（ 2，2 ），直线AC的解析表达式是 y＝﹣x+4 ．
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而求得点C的坐标，根据待定系数法，可得直线AC的解析式．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点D，
，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC＝OA＝4．
又∵∠1＝60°，
∴∠2＝30°．
∴CD＝OC＝2，OD＝OC＝2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y＝kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得，
解得，
直线AC的表达式是y＝﹣x+4，
故答案为：2，2，y＝﹣x+4．
14．（2020•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 32 ，第2020个阴影三角形的面积是 2×42019 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A1的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点B1的坐及△A1OB1的面积，同理可求出△A2B1B2和△A3B2B3的面积，设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”，再代入n＝2020即可求出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝0+2＝2，
∴点A1的坐标为（0，2）．
∵△A1OB1为等腰直角三角形，
∴OB1＝OA1＝2，
∴点B1的坐标为（2，0），＝×2×2＝2；
当x＝2时，y＝2+2＝4，
∴点A2的坐标为（2，4）．
∵△A2B1B2为等腰直角三角形，
∴点B2的坐标为（6，0），＝×4×4＝8；
当x＝6时，y＝6+2＝8，
∴点A3的坐标为（6，8），
∵△A3B2B3为等腰直角三角形，
∴点B3的坐标为（14，0），＝×8×8＝32．
设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），则Sn＝2×4n﹣1，
∴S2020＝2×42020﹣1＝2×42019．
故答案为：32；2×42019．
15．（2020•石家庄一模）如图，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角，点B1，B2，B3…均在x轴正半轴上，直角顶点A1（2，2），A2，A3，…均在直线y＝﹣x+3上．设△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，则S1＝ 4 ，依据图形所反映的规律，S2020＝ 4×（）4038 ．
【分析】分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【解答】解：如图，分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵A1（2，2），且△A1OB1是等腰直角三角形，
∴OC＝CB1＝A1C＝2，
设B1D＝a，则A2D＝a，
∴OD＝4+a，
∴点A2坐标为（4+a，a），
将点A2坐标代入y＝﹣x+3，得：﹣（4+a）+3＝a，
解得：a＝，
∴B1B2＝2a＝，A2D＝，
同理求得A3E＝、B2B3＝，
∵S1＝×4×2＝4、S2＝××＝、S3＝××＝、……
∴S2020＝4×（）4038．
故答案为4，4×（）4038．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•开平区一模）如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ﹣3 ；点B的坐标为 （1，0） ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
【分析】（1）利用待定系数法求得直线l1的解析式，再令y＝0可得答案；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（3）根据三角形的面积公式可得答案；
（4）设P（a，﹣6），可得这PA、PB、AB的长，分①PA＝PB，②PA＝AB，③PB＝AB，三种情况求解可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
∴﹣3＝2a﹣a，
∴a＝﹣3，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣3x+3，
令y＝﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：﹣3，（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入点A、C的坐标得，
，
∴，
∴y＝x﹣6．
（3）∵A（4，0），C（2，﹣3），B（1，0），
∴S△ABC＝×3×3＝．
（4）∵P在直线l2上，
设P（a，﹣6），
∴PA＝，PB＝，AB＝3，
①当PA＝PB时，
∴＝，
化简得﹣2a+1＝﹣8a+16，
∴a＝．
②当PA＝AB时，
∴＝3，
化简得13a2﹣136a+172＝0，
∴a＝，
③当PB＝AB时，
∴＝3，
化简得13a2﹣80a+112＝0，
∴a1＝4，a2＝，
∵a＝4时P与A重合，故舍去．
综上，P点的横坐标为或或．
17．（2021•南皮县一模）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；
（2）若BC＝BA，求m的值；
（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+4可得点A，B的坐标，由∠APB＝45°得OP＝OB＝4，则P（﹣4，0），利用待定系数法可得PB所在直线的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质得CO＝OA＝2，由中点的定义得PC＝AC＝4，则OP＝OC+PC＝2+4＝6，即可得m的值；
（3）当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．即可写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．
∴A（2，0），B（0，4），
若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．
∴P（﹣4，0），
设PB所在直线的解析式y＝kx+b，
∴，解得．
∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；
（2）若BC＝BA，
∵BO⊥CA，
∴CO＝OA，
∵A（2，0），
∴C（﹣2，0），
∴AC＝4，CO＝OA＝2，
∵BC是△ABP的中线，
∴PC＝AC＝4，
∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，
∴点P（﹣6，0），
∴m＝﹣6；
（3）0＜m＜2．
理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．
∴0＜m＜2．
18．（2021•河北模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，E（1，1）为平面内一点．
（1）点E是否在一次函数y＝﹣2x+3的图象上？说明理由；
（2）一次函数y＝﹣x+b的图象经过E点，与x轴交于C点．
①求BC的长；
②正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象交于P点，点O，P到一次函数y＝﹣x+b的图象的距离相等，直接写出符合条件的k值．
【分析】（1）将点E坐标代入解析式可求解；
（2）①分别求出点B，点C坐标，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，全等三角形的性质和平行线的性质可求解．
【解答】解：（1）在，
理由如下：∵当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，
∴点E在一次函数y＝﹣2x+3的图象上；
（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过E点，
∴1＝﹣+b，
∴b＝，
∴y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝4，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（，0），点B（0，3），
∴OB＝3，OA＝，
∴BC＝＝＝5；
②当点O，点P在直线CE的同侧时，∵O、P到一次函数y＝﹣x+的图象的距离相等，
∴OP与直线y＝﹣x+平行，
∴k＝﹣，
当点O，点P在直线CE的异侧时，过点O作OH⊥CE于H，过点P作PQ⊥CE于Q，直线y＝kx交CE于F，
∵O、P到一次函数y＝﹣x+的图象的距离相等，
∴OH＝PQ，
又∵∠PFQ＝∠OFH，∠PQF＝∠OHF，
∴△PQF≌△OHF（AAS），
∴PF＝OF，
∵直线y＝kx的图象与直线y＝﹣2x+3的图象交于P点，
∴，
∴，
∴点P（，），
∴点F坐标为（，），
∵点F在一次函数y＝﹣x+上，
∴＝﹣×+，
∴k＝13，
综上所述：k＝﹣或13．
考点11 一次函数
考点总结
知识点一 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】
1、 有两个变量。
2、 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点
1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
3、 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
知识点二 一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
总结如下：
k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。
k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）
k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）
k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数）
k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。
k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）
k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）
k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数）
直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．
k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。
一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。
1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴
2、当,则b=0，直线过原点
3、当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴
在两个一次函数表达式中： 直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2 的位置关系
k相同， b也相同时，两一次函数图像重合；
k相同， b不相同时，两一次函数图像平行；
k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
k不相同，b相同时， 两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2
两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 。即：
两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:
直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=
知识点三 一次函数与方程（组）、不等式
一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.
一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数 ）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。
由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•高阳县模拟）一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣2022，kb＝2021，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣2022，kb＝2021，
∴k＜0，b＜0
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，
故选：D．
2．（2021•桥东区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，且l1与l2交于点C，若点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】根据直线的解析式求得A、B、C的坐标，然后根据点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），得到关于m的不等式组，解得不等式组即可求得．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+3，直线l2：y＝x﹣3与x轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（3，0），
由解得，
∴C（，﹣），
∵点M（2m+2，m）在△ABC的内部（不包括边界），
∴，
∴，
∴﹣＜m＜0，
故选：C．
3．（2021•长安区二模）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，a），D（6，a）和E（6，0）．若直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则a＝（ ）
A． B． C．4 D．3
【分析】设直线l：y＝﹣x+将多边形OABCD的边交于点F、G两点，根据一次函数关系式求出点F、G的坐标，得FO＝，GE＝，求出S四边形OFGE＝＝，根据直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，得关于a的方程，即可求解．
【解答】解：设直线l：y＝﹣x+将多边形OABCD的边交于点F、G两点，
当x＝0时，y＝＝﹣x+＝，
∴FO＝，
当x＝6时，y＝﹣x+＝，
∴GE＝，
∴S四边形OFGE＝＝，
∵直线l：y＝﹣x+将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，
∴S多边形OABCDE＝2S四边形OFGE＝2×＝33，
∴4×6+2a＝33，
解得a＝．
故选：A．
4．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的整数值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜7．
∴m的整数值有5个．
故选：B．
5．（2021•乐亭县一模）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．
【分析】根据反比例函数图象的增减性可得a＜0，根据图象与y轴的正半轴相交可得a+2＞0，所以﹣2＜a＜0．
【解答】解：∵图象与y轴的正半轴相交，
∴a+2＞0得a＞﹣2，
∵图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴﹣2＜a＜0．
故选：B．
6．（2021•保定模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a，b的方程组，解之即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），
∴，
解得：k＝﹣2．
故选：A．
7．（2021•石家庄一模）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质，确定y1，y2的值的大小亦可）．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，
当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．
∵﹣3＞﹣8，
∴y1＞y2．
故选：B．
8．（2021•石家庄模拟）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg
C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲园的门票为60元，故选项A正确；
乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
＝0.5，
即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；
若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝348（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），
∵348＞340，
∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；
故选：D．
9．（2021•清苑区模拟）如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．4 元 B．5 元 C．6 元 D．7 元
【分析】利用待定系数法可分别求得直线OA、AB的函数解析式，再分别求得两种方式所需费用，即可求得答案．
【解答】解：
由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y＝kx，则2k＝20，解得k＝10，
∴直线OA解析式为y＝10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y＝10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y＝tx+b，
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝8x+4（x＞2），
∴当x＝5时，y＝44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44＝6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
故选：C．
10．（2021•新华区模拟）把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，求出直线y＝﹣x﹣3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜7．
m取整数有5个解．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•路南区一模）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B2：点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝3x于点B3；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为：
（1）B3（ 4，12 ）；
（2）B6（ 32，96 ）；
（3）Bn（ 2n﹣1，3×2n﹣1 ）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．
【解答】解：（1）∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，3），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1A2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，6），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，12），
（2）依此类推，A6的坐标为（32，0），B6的坐标为（32，96）．
（3）点An的坐标为（2n﹣1，0），点Bn的坐标为（2n﹣1，3×2n﹣1）．
故答案为：（1）4，12；（2）32，96；（3）2n﹣1，3×2n﹣1．
12．（2021•保定模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 0＜m＜4 ．
【分析】直线y＝﹣x+3，当y＝1时，可得x＝4，即可得到0＜m＜4．
【解答】解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：
在y＝﹣x+3中，当y＝1时，1＝﹣x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
故答案为：0＜m＜4．
13．（2020•定州市二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是（0，4），则点C的坐标为（ 2，2 ），直线AC的解析表达式是 y＝﹣x+4 ．
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而求得点C的坐标，根据待定系数法，可得直线AC的解析式．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点D，
，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC＝OA＝4．
又∵∠1＝60°，
∴∠2＝30°．
∴CD＝OC＝2，OD＝OC＝2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y＝kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得，
解得，
直线AC的表达式是y＝﹣x+4，
故答案为：2，2，y＝﹣x+4．
14．（2020•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 32 ，第2020个阴影三角形的面积是 2×42019 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A1的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点B1的坐及△A1OB1的面积，同理可求出△A2B1B2和△A3B2B3的面积，设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”，再代入n＝2020即可求出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝0+2＝2，
∴点A1的坐标为（0，2）．
∵△A1OB1为等腰直角三角形，
∴OB1＝OA1＝2，
∴点B1的坐标为（2，0），＝×2×2＝2；
当x＝2时，y＝2+2＝4，
∴点A2的坐标为（2，4）．
∵△A2B1B2为等腰直角三角形，
∴点B2的坐标为（6，0），＝×4×4＝8；
当x＝6时，y＝6+2＝8，
∴点A3的坐标为（6，8），
∵△A3B2B3为等腰直角三角形，
∴点B3的坐标为（14，0），＝×8×8＝32．
设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），则Sn＝2×4n﹣1，
∴S2020＝2×42020﹣1＝2×42019．
故答案为：32；2×42019．
15．（2020•石家庄一模）如图，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角，点B1，B2，B3…均在x轴正半轴上，直角顶点A1（2，2），A2，A3，…均在直线y＝﹣x+3上．设△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，则S1＝ 4 ，依据图形所反映的规律，S2020＝ 4×（）4038 ．
【分析】分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【解答】解：如图，分别过点A1、A2、A3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵A1（2，2），且△A1OB1是等腰直角三角形，
∴OC＝CB1＝A1C＝2，
设B1D＝a，则A2D＝a，
∴OD＝4+a，
∴点A2坐标为（4+a，a），
将点A2坐标代入y＝﹣x+3，得：﹣（4+a）+3＝a，
解得：a＝，
∴B1B2＝2a＝，A2D＝，
同理求得A3E＝、B2B3＝，
∵S1＝×4×2＝4、S2＝××＝、S3＝××＝、……
∴S2020＝4×（）4038．
故答案为4，4×（）4038．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•开平区一模）如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ﹣3 ；点B的坐标为 （1，0） ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
【分析】（1）利用待定系数法求得直线l1的解析式，再令y＝0可得答案；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（3）根据三角形的面积公式可得答案；
（4）设P（a，﹣6），可得这PA、PB、AB的长，分①PA＝PB，②PA＝AB，③PB＝AB，三种情况求解可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
∴﹣3＝2a﹣a，
∴a＝﹣3，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣3x+3，
令y＝﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：﹣3，（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入点A、C的坐标得，
，
∴，
∴y＝x﹣6．
（3）∵A（4，0），C（2，﹣3），B（1，0），
∴S△ABC＝×3×3＝．
（4）∵P在直线l2上，
设P（a，﹣6），
∴PA＝，PB＝，AB＝3，
①当PA＝PB时，
∴＝，
化简得﹣2a+1＝﹣8a+16，
∴a＝．
②当PA＝AB时，
∴＝3，
化简得13a2﹣136a+172＝0，
∴a＝，
③当PB＝AB时，
∴＝3，
化简得13a2﹣80a+112＝0，
∴a1＝4，a2＝，
∵a＝4时P与A重合，故舍去．
综上，P点的横坐标为或或．
17．（2021•南皮县一模）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；
（2）若BC＝BA，求m的值；
（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+4可得点A，B的坐标，由∠APB＝45°得OP＝OB＝4，则P（﹣4，0），利用待定系数法可得PB所在直线的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质得CO＝OA＝2，由中点的定义得PC＝AC＝4，则OP＝OC+PC＝2+4＝6，即可得m的值；
（3）当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．即可写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．
∴A（2，0），B（0，4），
若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．
∴P（﹣4，0），
设PB所在直线的解析式y＝kx+b，
∴，解得．
∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；
（2）若BC＝BA，
∵BO⊥CA，
∴CO＝OA，
∵A（2，0），
∴C（﹣2，0），
∴AC＝4，CO＝OA＝2，
∵BC是△ABP的中线，
∴PC＝AC＝4，
∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，
∴点P（﹣6，0），
∴m＝﹣6；
（3）0＜m＜2．
理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．
∴0＜m＜2．
18．（2021•河北模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，E（1，1）为平面内一点．
（1）点E是否在一次函数y＝﹣2x+3的图象上？说明理由；
（2）一次函数y＝﹣x+b的图象经过E点，与x轴交于C点．
①求BC的长；
②正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象交于P点，点O，P到一次函数y＝﹣x+b的图象的距离相等，直接写出符合条件的k值．
【分析】（1）将点E坐标代入解析式可求解；
（2）①分别求出点B，点C坐标，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，全等三角形的性质和平行线的性质可求解．
【解答】解：（1）在，
理由如下：∵当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，
∴点E在一次函数y＝﹣2x+3的图象上；
（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过E点，
∴1＝﹣+b，
∴b＝，
∴y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝4，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（，0），点B（0，3），
∴OB＝3，OA＝，
∴BC＝＝＝5；
②当点O，点P在直线CE的同侧时，∵O、P到一次函数y＝﹣x+的图象的距离相等，
∴OP与直线y＝﹣x+平行，
∴k＝﹣，
当点O，点P在直线CE的异侧时，过点O作OH⊥CE于H，过点P作PQ⊥CE于Q，直线y＝kx交CE于F，
∵O、P到一次函数y＝﹣x+的图象的距离相等，
∴OH＝PQ，
又∵∠PFQ＝∠OFH，∠PQF＝∠OHF，
∴△PQF≌△OHF（AAS），
∴PF＝OF，
∵直线y＝kx的图象与直线y＝﹣2x+3的图象交于P点，
∴，
∴，
∴点P（，），
∴点F坐标为（，），
∵点F在一次函数y＝﹣x+上，
∴＝﹣×+，
∴k＝13，
综上所述：k＝﹣或13．
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