2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点12 一元二次方程

考点12 一元二次方程

考点总结

知识点一 一元二次方程定义及一般形式

概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

【注意】

1）只含有一个未知数；

2）所含未知数的最高次数是2；

3）整式方程。

知识点二：解一元二次方程（重点）

方法一：配方法（最基础的解法）

配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

用配方法解一元二次方程的一般步骤

         移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

         二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

         配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；

【注意】：1）当时，方程无解

         2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

         求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

方法二：直接开平方法（最基础的解法）

概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

【注意】

1)若b0，方程有两个实数根。

 （若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）

2)若b<0，方程无解。

方法三：公式法（常用解法）

一元二次方程 根的判别式：

         方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点

         方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点

         方程无实根的图像与轴没有交点

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

         把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);

         求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;

         如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：

         最后求出x1，x2

方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）

用因式分解一元二次方程的一般步骤：

         将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

         将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

         令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

         求解

归纳：右化零，左分解，两因式，各求解

方法五：韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝； ＝

知识点4： 一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：

         “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

         “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

         “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

         “解”就是求出说列方程的解；

         “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•南皮县一模）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）

A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0 

C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0

2．（2021•海港区模拟）已知关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，则方程x2+4x+c+1＝0的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

3．（2021•桥东区二模）若x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，则关于x的值，下列说法正确的是（　　）

A．不存在这样x的值 B．有两个相等的x的值 

C．有两个不相等的x的值 D．无法确定

4．（2021•路南区二模）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

5．（2021•河北一模）若一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

6．（2021•顺平县二模）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　）

A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c

7．（2021•竞秀区一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有两个相等的实数根 D．不能确定

9．（2021•古冶区一模）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 

C．有一个实数根 D．没有实数根

10．（2021•长安区二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　）

A．1 B．0 C．7 D．9

二．填空题（共5小题）

11．（2021•滦南县二模）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则：

（1）a+b的值为 　   　；

（2）的值为 　   　．

12．（2021•永德县模拟）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是　   　．

13．（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　   　．

14．（2020•曲阳县模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，该方程解的情况是 　   　．

15．（2020•衡水模拟）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a2﹣b2+2b的值为　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•衡水模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．

（1）求五边形ABCDE的面积；

（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．

（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．

17．（2021•安次区二模）如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．

（1）若抽中的卡片是B．

①求整式C；

②当x＝﹣1时，求整式C的值．

（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？

18．（2021•桥西区模拟）比较x2+y2与2xy的大小．

尝试：（用“＜”“＝”或“＞”填空）

①当x＝2，y＝2时，x2+y2　   　2xy；

②当x＝1，y＝3时，x2+y2　   　2xy；

③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2　   　2xy．

验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；

应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．