2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点13 二次函数

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考点13 二次函数
考点总结

知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而b，c可以为零．
二次函数的结构特征：
1 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①；②；③；④；⑤.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
第一种：二次函数的性质（最基础）







第二种：二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．







第三种：二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

第四种：二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数用配方法可化成：
的形式，其中.
二次函数图象的平移
平移步骤：
Ø 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
Ø 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
n 公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线.
n 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）
n 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
3 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
n 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
1 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．
2 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．
【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
n 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
3 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
知识点三 抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）
Ø 三点式（带入）
1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
Ø 顶点式（顶点坐标（-，））
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
Ø 交点式（带入）
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
Ø 定点式
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。

2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
解：抛物线与X轴相交，Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得m=-
Y= x2-x+
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
直线y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与m的取值无关，所以
x-2=0 y=2
即定点坐标为A（2,2）
所抛物线y=ax2+ax-2过(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=
真题演练

一．选择题（共10小题）
1．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B． C． D．
【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，
∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
∵抛物线与x轴交于点A，B．
∴抛物线开口向上，
∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∵m＞0，
∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，
∴m≤，
当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，
∴m＞，
∴＜m≤，
故选：B．
2．（2021•开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（　　）

A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a＝，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），
∴a＝
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴＞0，
∴t﹣3＞0，
∴t＞3．
故选：A．
3．（2021•河北模拟）对于题目，“线段与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是，乙的结果是，则（　　）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．
【解答】解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），
抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），
当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，
即，
解得0＜a＜1，

当点C在点A上方，点D在点B下方时也满足题意，
，
解得a，
②a＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0），
当点C与点A重合或在A上方时满足题意，
即，
解得a≤﹣．

综上所述，0＜a＜1或a＞或a≤﹣．
故选：D．
4．（2021•清苑区模拟）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．
【解答】解：y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，
B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，
D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，
故选：C．
5．（2021•路北区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　）

A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
6．（2021•路北区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；
丙：3a+c＞0．
则下列判断正确的是（　　）

A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错
【分析】根据二次函数图形可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙三人的正误即可．
【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故甲结论是错误的；
根据图象判断，当y＝﹣2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；
故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，
∴﹣＝1，即2a＝﹣b，
令x＝﹣1，则y＝a﹣b+c＝3a+c，
由图象可知当x＝﹣1时，y＞0即3a+c＞0，
故丙同学结论正确．
故选：B．
7．（2021•遵化市模拟）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0
【分析】先求出顶点坐标，再确定顶点横、纵坐标的取值范围，解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M（m，﹣m+1），
∵A（﹣3，0），C（0，2），顶点M在矩形OABC内部或其边上
∴，
解得：﹣1≤m≤0．
故选：D．
8．（2021•衡水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞0；③ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；④b：c＝1：4，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的对称轴以及与y轴的交点即可判断①；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b＝﹣2a，代入得8a+c＝0，由a＞0，可得9a+c＞0，即可判断②；由抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，可得ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，即可判断③；把a＝﹣b代入y＝4a﹣2b+c＝0，整理得到4b＝c，即可得出b：c＝1：4，即可判断④．
【解答】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，
∵a＞0，
∴9a+c＞0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论③正确；
④∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b﹣2b+c＝0，
∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，结论④正确．
故选：D．
9．（2021•石家庄模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m，得4+12+m＝0，
解得m＝﹣16．
故选：D．
10．（2021•古冶区一模）关于抛物线y＝x2+bx+1，有以下结论：①当b＝﹣1时，抛物线过原点；②抛物线必过点（0，1）；③顶点的纵坐标最大值为1；④若当x＝1时，y＞0，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是﹣2＜b≤4．错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】当b＝﹣1时，y＝x2﹣x+1，当x＝0时，y＝1，可判定①；当x＝0时，y＝02+b×0+1＝1，可判定②；将函数配方得y＝x2+bx+1＝（x+）2﹣+1，顶点纵坐标为﹣+1，可判定③；当x＝1时，y＞0，得b＞﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，得b≤4，可判定④．
【解答】解：①当b＝﹣1时，y＝x2﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，抛物线不过原点，
故①不正确；
②当x＝0时，y＝02+b×0+1＝1，
∴抛物线必过（0，1），
故②正确；
③y＝x2+bx+1＝（x+）2﹣+1，
顶点纵坐标为：﹣+1，
∵b2≥0，
∴﹣≤0，
∴﹣+1≤1，
∴顶点纵坐标最大值为1，
故③正确；
④当x＝1时，y＞0，
得：12+b+1＞0，
解得：b＞﹣2，
当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
得：﹣≥﹣2，
解得：b≤4，
∴b的取值范围是﹣2＜b≤4，
故④正确．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•承德一模）如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝　　，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝　　．

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出P1（1，），则根据三角形面积公式计算出S1＝，同样可得S2＝；S3＝，S4＝，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到Sn＝．
【解答】解：当x＝1时，y＝x2＝，则P1（1，），所以S1＝×1×＝；
当x＝2时，y＝x2＝2，则P2（2，2），所以S2＝×1×（2﹣）＝；
当x＝3时，y＝x2＝，则P3（3，），所以S3＝×1×（﹣2）＝，
同样方法可得S4＝，
所以Sn＝．
故答案为，．
12．（2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为　P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9　；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为　3.75分钟　．

【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故答案为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，3.75分钟．
13．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，b＝　﹣4　；m＝　6　；将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 　4　．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则﹣＝2，解得b＝﹣4，再把（﹣1，m）代入y＝x2﹣4x+1中求出m的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．
【解答】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，
把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；
抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，
∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，
解得n＞3，
∵n是正整数，
∴n的最小值为4．
故答案为﹣4，6；4．
14．（2021•永德县模拟）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为　直线x＝1　．
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x＝＝1．
故答案为：直线x＝1．
15．（2020•秦皇岛一模）如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）点P的坐标为　　；
（2）图中阴影部分的面积为　　．

【分析】（1）抛物线C1与抛物线y＝x2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P的坐标；
（2）图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），
∴抛物线m的解析式为y＝（x﹣0）（x+6）＝x2+3x＝（x+3）2﹣．
∴P．
故答案是：；

（2）把x＝﹣3代入＝x2得y＝，
∴Q（﹣3，），
∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ＝×9×3＝．
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•河北模拟）某商家销售某种商品，已知该商品的进货单价由两部分构成：一部分为每件商品的进货固定价16元，另一部分为进货浮动价．据市场调查，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数解析式为y＝﹣5x+120，而该商品的日销售量y（件）与每件的进货浮动价z（元）的关系如下表所示．
每件的进货浮动价z（元）
0.1
0.125
0.2
0.25
日销售量y（件）
100
80
50
40
（1）请你建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品的日销售量y与每件的进货浮动价z之间的关系；
（2）运用（1）中的函数模型判断，该商品的销售单价定为多少元时，每天销售产品的总利润最大？
【分析】（1 ）利用表中该商品每件的进货浮动价z与日销售量y的积为一个固定常数10，由反比例函数的定义即可得出结论；
（2）设每天销售产品的总利润为w元，利用总利润＝单个利润×销售数量建立函数关系式，则可由二次函数的性质求得结果．
【解答】解：（1）根据表中数据，该商品每件的进货浮动价z与日销售量y的积为一个固定常数10，
∴日销售量y和每件的进货浮动价z为反比例函数关系，即y＝，
∴销售量y与每件的进货浮动价z之间的关系y＝；
（ 2）设每天销售产品的总利润为w元，
由题意可得w＝y（x﹣16﹣z）＝（﹣5x+120）（x﹣16﹣）＝﹣5（x﹣20）2+70，
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，W有最大值，
∴该商品的销售单价定为20元时，每天销售产品的总利润最大．
17．（2021•路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2，求利润y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉，其中投入x（x＞0）万元种植花卉，那么他至少获得多少利润？
（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上，该园林专业户应怎样投资？

【分析】（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润＝树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值；
（3）令w＝20求出x的值即可得．
【解答】解：（1）设l1：y＝kx，∵函数y＝kx的图象过（1，2），
∴2＝k⋅1，k＝2，
故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0），
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设l2：y＝ax2，
由图2，函数y＝ax2的图象过（2，2），
∴2＝a⋅22，解得：a＝，
故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；
（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉，则投入（10﹣x）万元种植树木，
，
∵a＝＞0，0＜x≤10，
∴当x＝2时，w的最小值是18，
他至少获得18万元的利润．
（3）根据题意，当w＝20时，，
解得：x＝0（不合题意舍），x＝4，
∴至少获得20万元利润，则x＝4，
∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大，
∴w＞20，只需要x＞4，
所以保证获利在20万元以上，该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．
18．（2021•海港区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a（a≠0）与y轴交于点A，顶点为B．
（1）若抛物线过点（1，4），求抛物线解析式．
（2）设点A的纵坐标为yA，用含a的代数式表示yA，求出yA的最小值．
（3）若a＞0，随着a增大A点上升而B点下降，求a的取值范围．
【分析】（1）把（1，4）代入抛物线解析式求解．
（2）用含a代数式表示表示yA，并将解析式化为顶点式求解．
（3）分别用含a代数式表示yA，yB，并将其化为顶点式求解．
【解答】解：（1）把（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a得4＝a﹣2a+a2﹣2a，
解得a1＝﹣1，a2＝4．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3或y＝4x2﹣8x+8．
（2）把x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a，即＝（a﹣1）2﹣1，
∴yA的最小值为﹣1．
（3）∵y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a＝a（x﹣1）2+a2﹣3a，
∴＝（a﹣1）2﹣1，＝﹣，
∴当a＞1时，随着a增大A点上升；当a＜1.5时，随着a增大B点下降．
∴当1＜a＜1.5时，随着a增大A点上升而B点下降．