2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点16 相交线与平行线

考点16 相交线与平行线

考点总结

知识点一 相交线

直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。

垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。

表示方法：

如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．

记作：a ⊥ b于点Ｏ．

【注意事项】

1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。

2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线的画法：一落、二移、三画。

注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

注意：

1、  垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。

2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

知识点二 相交线中的角

邻补角与对顶角的知识点

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

注意点：

（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；

（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

同位角、内错角与同旁内角的知识点

同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）

如：∠1和∠5。

内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）

如：∠3和∠5。

同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。

三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。

知识点三 平行线

平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，

如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。

平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合

平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

几何描述 ：∵∥，∥

　　　　   ∴∥

平行线的判定

判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同位角相等，两直线平行

判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：内错角相等，两直线平行

判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.。

几何符号语言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

知识点四 图形平移

平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。

平移的性质：

1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

3、连接各组对应点的线段平行且相等。

作平移图形的一般步骤：

1、确定平移的方向和距离。

2、确定图形的关键点。

3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。

4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。

真题演练

一．选择题（共13小题）

1．（2021•路北区一模）如图，能表示点P到直线m的距离的是（　　）的长度．

A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段AC

2．（2021•路南区三模）如图，这是张亮同学的小测试卷，他应该得的分数是（　　）

A．40 B．60 C．80 D．100

3．（2021•平泉市一模）如图，在平面内作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（　　）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

4．（2021•古冶区一模）将一副三角板（∠A＝45°，∠E＝60°）按如图所示方式摆放，点F在CB的延长线上，若DE∥CF，则∠BDF＝（　　）

A．15° B．25° C．30° D．35°

5．（2021•张家口一模）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（　　）

A．4米 B．5米 C．6米 D．7米

6．（2021•裕华区校级模拟）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠4＝180°

7．（2021•清苑区模拟）如图，小亮从A到达E，路线为A→B→C→D→E．由A到B和由D到E都是正北方向中间经历了3次拐弯，第一次拐弯后，行进方向变为南偏东35°，若∠D＝105°，则∠BCD的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

8．（2021•竞秀区一模）如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（　　）

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

9．（2020•东营一模）下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（2020•黔南州二模）下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．

11．（2021•开平区一模）如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（　　）

A．点A到l的距离是线段AB 

B．点C到点A的距离是线段AC 

C．A、C、B三点共线 

D．A、C、B三点不一定共线

12．（2021•河北模拟）如图，∠1与∠2的关系是（　　）

A．互为对顶角 B．互为同位角 

C．互为内错角 D．互为同旁内角

13．（2021•滦南县二模）如图，AB∥CD，∠1＝56°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）

A．152° B．124° C．122° D．116°

二．填空题（共3小题）

14．（2021•桥东区二模）将一副三角尺△ABC和△DEF按图所示位置摆放，若AB∥DE，则∠DPC＝　   　．

15．（2021•邢台模拟）如图1，有一个足够长的矩形纸片ABCD，E、F分别是AD、BC上的点，∠DEF＝24°．

（1）将纸片含CD的部分沿EF折叠，称为第1次操作；如图2，则∠CFG＝　   　；

（2）继续将纸片含CD的部分沿BF折叠，称为第2次操作；如图3，则∠CFE＝　   　；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次…第n操作，则n的最大值为　   　．

16．（2020•河北模拟）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝55°，则∠2＝　   　．