2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点23 矩形与正方形

考点23 矩形与正方形

考点总结

知识点一 矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：

1）矩形具有平行四边形的所有性质；

2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°

3）对角线相等；

几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD

推论：

1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。

 矩形的判定：

1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；

3）有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形的面积公式：  面积=长×宽

知识点二 正方形

正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：

1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。

2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形对边平行且相等。

4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.

正方形的判定：

1）有一个角是直角的菱形是正方形；

2）对角线相等的菱形是正方形；

3）一组邻边相等的矩形是正方形；

4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•路北区三模）如图，线段CE的长度为10，点D为线段CE上一动点（不与点C，E重合），DE为一边在CE上方作矩形ABCD，DEFG，使CB＝CD，DG＝DE，连接AC，EG，并取AC，EG的中点，分别记为M、N，连接MN．下面结论正确的是（　　）

①∠ACD＝30°；

②当点A落在MN上时，S矩形ABCD：S矩形DEFG＝1：3；

③连接BF，则MN∥BF．

A．① B．② C．③ D．①②③

2．（2021•温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．（2021•海港区模拟）如图：用一张长为4cm，宽3cm的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．（2021•枣庄模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A． B． C． D．

5．（2021•安次区二模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道．图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．直角三角形的面积 

B．较小两个正方形重叠部分的面积 

C．最大正方形的面积 

D．最大正方形与直角三角形的面积和

6．（2021•饶平县校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）

A．3 B． C．3 D．6

7．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）

A．60° B．67.5° C．75° D．54°

8．（2021•长安区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（　　）

A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 

B．添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形 

C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形 

D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形

9．（2021•石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：

甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；

乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．

下列判断正确的是（　　）

A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 

C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确

10．（2021•路北区二模）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．

求证：OB＝AC．

证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：

①∵∠ABC＝90°；

②∵OD＝OB，OA＝OC；

③∴四边形ABCD是平行四边形；

④∴四边形ABCD是矩形．

∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．

则中间证明过程正确的顺序是（　　）

A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④

二．填空题（共5小题）

11．（2021•竞秀区一模）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．

（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝　   　．

（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝　   　．

12．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．

（1）BD的长为　   　；

（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为　   　；

（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝　   　．

13．（2021•台州模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　   　．

14．（2021•河北模拟）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为﹣1，则点B所对应的数为　   　．

15．（2020•丰润区模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．

（1）S△BDC：S△BAC＝　   　；

（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•迁西县模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：∠1＝∠2；

（2）求证：△ADC≌△ECD；

（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．

17．（2021•怀化模拟）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：四边形AECF是矩形．

18．（2021•新华区模拟）已知：如图，▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC、DF．

（1）求证：AD＝CF；

（2）嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点？如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．