2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点03 分式与二次根式

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考点03 分式与二次根式考点总结一、分式1．分式的定义（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．3．约分及约分法则（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5．通分及通分法则（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减   ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．二、二次根式1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．真题演练 一．选择题（共10小题）1．（2021•临沭县模拟）化简的结果是（　　）A．a+2 B．（a+2）（a﹣2） C． D．【分析】先通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算．【解答】解：原式＝﹣＝＝，故选：D．2．（2021•张店区二模）化简÷的结果是（　　）A． B． C． D．【分析】把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的除法法则计算即可．【解答】解：原式＝•＝，故选：B．3．（2021•新泰市一模）在0，﹣1，0.5，（﹣2021）0四个数中，最小的数是（　　）A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣2021）0【分析】先计算零指数幂的运算，再根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小据此判断即可．【解答】解：（﹣2021）0＝1，根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜0.5＜（﹣2021）0，∴在0，﹣1，0.5，（﹣2021）0四个数中，最小的数是﹣1．故选：B．4．（2021•济南）计算的结果是（　　）A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2【分析】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．【解答】解：原式＝＝＝＝m﹣1．故选：B．5．（2021•临沂）计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（　　）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据分式的减法和除法法则可以化简题目中的式子．【解答】解：（a﹣）÷（﹣b）＝÷＝＝﹣，故选：A．6．（2021•高唐县一模）下列计算结果错误的是（　　）A．（2）2＝12 B．3a2•4a3＝12a5 C．×＝ D．（3ab2）2＝6a2b4【分析】根据二次根式的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：A、（2）2＝22×（）2＝12，本选项计算正确，不符合题意；B、3a2•4a3＝12a5，本选项计算正确，不符合题意；C、×＝＝＝，本选项计算正确，不符合题意；D、（3ab2）2＝9a2b4，本选项计算错误，符合题意；故选：D．7．（2021•台儿庄区一模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（　　）A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【分析】根据＝|a|化简，然后去绝对值化简即可．【解答】解：根据数轴知道﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2，故选：A．8．（2021•潍坊模拟）下列计算正确的是（　　）A． B．＝3 C． D．【分析】根据二次根式的性质逐项化简即可求解．【解答】解：A.，故A选项不符合题意；B.，故B选项不符合题意；C.，故C选项不符合题意；D.，故D选项符合题意．故选：D．9．（2021•福山区模拟）下列实数中，分数是（　　）A．π B． C． D．﹣1.2【分析】根据分数的意义进行判断即可．【解答】解：π是无理数，因此选项A不符合题意；＝，是无理数，因此选项B不符合题意；＝，是无理数，因此选项C不符合题意；﹣1.2＝﹣，是一个负分数，因此选项D符合题意；故选：D．10．（2021•东昌府区一模）下列计算正确的是（　　）A．＝2 B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝±3【分析】本题需先利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算．【解答】解：，故错误；，故正确；，故错误；，故错误；故选：B．二．填空题（共5小题）11．（2021•胶州市校级模拟）计算+2﹣1×﹣（）0的结果是 　﹣　．【分析】先化简，再计算．【解答】解：原式＝+×2﹣1．＝+﹣1＝+﹣1．＝﹣+12．（2021•诸城市三模）已知a＝+1，b＝﹣1，则a3b﹣ab3＝　4　．【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝（+1）+（﹣1）＝2，a﹣b＝（+1）﹣（﹣1）＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝1，∴a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b）＝4，故答案为：4．13．（2021•青岛）计算：（+）×＝　5　．【分析】利用乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式＝+＝4+1＝5．故答案为5．14．（2021•胶州市一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 　　元（用最简分式表示）．【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：﹣＝（元）．故答案为：．15．（2021•泗水县一模）已知整数a满足1＜a≤3，则分式（1﹣）•的值为 　　．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值求出，最后代入化简后的式子即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝，由分式有意义的条件可知：a≠0且a≠±2，∴a＝3，当a＝3时，原式＝，故答案为：．三．解答题（共3小题）16．（2021•岱岳区一模）（1）先化简：（），然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．（2）解方程：3x2+1＝2x．【分析】（1）先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而在﹣1≤x≤2中选择是分式有意义的x的值代入计算即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣）÷＝•＝•＝﹣，∵x≠﹣1且x≠2，∴﹣1≤x≤2中合适的整数有0、1这两个，∴当x＝0时，原式＝﹣＝1； （2）∵3x2+1＝2x，∴3x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，则x﹣1＝0，∴x1＝x2＝．17．（2021•周村区二模）计算：（1）a3•a+（﹣a2）3÷a2．（2）．【分析】（1）根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方即可得出答案；（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝a4﹣a6÷a2＝a4﹣a4＝0；（2）原式＝3÷3×＝＝1．18．（2021•新泰市模拟）（1）化简求值：，已知x+y＝4，x﹣y＝．（2）解不等式组：．【分析】（1）根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x+y＝4，x﹣y＝代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．【解答】解：（1）＝＝＝＝（x+y）（x﹣y），当x+y＝4，x﹣y＝时，原式＝4×＝12；（2），解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＜5，∴原不等式组的解集是2≤x＜5．