2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点02 整式与因式分解

考点02 整式与因式分解

考点总结

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

二、整式

1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3．整式：单项式和多项式统称为整式.

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.

7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

8．乘法公式：（1）平方差公式：.   （2）完全平方公式：.

9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•潍城区二模）下列计算正确的是（　　）

A．2a3•3a2＝6a6 B．a8÷a4＝a2（a≠0） 

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a3）2＝a6

【分析】根据单项式乘单项式可以判断A，根据同底数幂的除法可以判断B，根据完全平方公式可以判断C，根据幂的乘方可以判断D．

【解答】解：2a3•3a2＝6a5，故选项A不符合题意；

a8÷a4＝a6（a≠0），故选项B不符合题意；

（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C不符合题意；

（﹣a3）2＝a6，故选项D符合题意；

故选：D．

2．（2021•郯城县模拟）下列计算正确的是（　　）

A．a2+a3＝a5 B．3a2﹣a2＝2 C．a2•a3＝a5 D．（﹣a3）2＝a5

【分析】选项A、B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；

选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；

选项D根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

B.3a2﹣a2＝2a2，故本选项不合题意；

C．a2•a3＝a5，故本选项符合题意；

D．（﹣a3）2＝a6，故本选项不合题意；

故选：C．

3．（2021•台儿庄区一模）下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；②（a3）2＝a5；③2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．其中运算正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的除法法则逐个计算得结论．

【解答】解：∵3m2n与5mn2不是同类项不能加减，①运算错误；

（a3）2＝a3×2＝a6≠a5，②运算错误；

2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a5b2≠﹣4a6b，③运算错误；

（﹣a3）÷（﹣a）＝（﹣a）3÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝a2，④运算正确．

∴运算正确的个数为1．

故选：D．

4．（2021•淄博一模）下列说法正确的是（　　）

A．﹣3ab2的系数是﹣3 

B．4a3b的次数是3 

C．2a+b﹣1的各项分别为2a，b，1 

D．多项式x2﹣1是二次三项式

【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的系数、次数的定义解决此题．

【解答】解：A．根据单项式的系数为数字因数，那么﹣3ab2的系数为﹣3，故A符合题意．

B．根据单项式的次数为所有字母的指数的和，那么4a3b的次数为4，故B不符合题意．

C．根据多项式的定义，2a+b﹣1的各项分别为2a、b、﹣1，故C不符合题意．

D．x2﹣1包括x2、﹣1这两项，次数分别为2、0，那么x2﹣1为二次两项式，故D不符合题意．

故选：A．

5．（2021•市南区一模）计算（﹣2a）2•（a3）的结果是（　　）

A．﹣a5 B．2a5 C．﹣a5 D．2a6

【分析】先算乘方，再算乘法．

【解答】解：（﹣2a）2•（a3）＝4a2•（a3）＝2a5．

故选：B．

6．（2021•临沭县二模）已知m+n＝1，那么代数式•（m2﹣n2）的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1

【分析】先分解因式，再通分，把m+n＝1，代入因式分解后的式子，最后约分出结果．

【解答】解：原式＝[+]（m+n）（m﹣n），

∵m+n＝1，

∴原式＝[]（m﹣n）

＝•（m﹣n）

＝3，

故选：A．

7．（2015•枣庄）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）

A．140 B．70 C．35 D．24

【分析】由矩形的周长和面积得出a+b＝7，ab＝10，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．

【解答】解：根据题意得：a+b＝＝7，ab＝10，

∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70；

故选：B．

8．（2021•诸城市二模）若a+5＝2b，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（　　）

A．0 B．﹣10 C．20 D．﹣30

【分析】由a+5＝2b，a﹣2b＝﹣5，代数式a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5可得答案．

【解答】解：∵a+5＝2b，

∴a﹣2b＝﹣5，

∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝25﹣5＝20，

故选：C．

9．（2021•蒙阴县二模）已知ab＝﹣2，a﹣3b＝5，则a3b﹣6a2b2+9ab3的值为（　　）

A．﹣10 B．20 C．﹣50 D．40

【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：a3b﹣6a2b2+9ab3

＝ab（a2﹣6ab+9b2）

＝ab（a﹣3b）2，

将ab＝﹣2，a﹣3b＝5代入得ab（a﹣3b）2＝﹣2×52＝﹣50．

故a3b﹣6a2b2+9ab3的值为﹣50．

故选：C．

10．（2021•海阳市一模）下列因式分解正确的是（　　）

A．a10b﹣a5＝a5（a2b﹣1） B．a2﹣4b2＝（a﹣2b）2 

C．a6+4a3b+4b2＝（a3+2b）2 D．a2﹣a（b+1）＝a（a﹣b+1）

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可．

【解答】解：A．a10b﹣a5＝a5（a5b﹣1），故此选项不合题意；

B．a2﹣4b2＝（a﹣2b）（a+2b），故此选项不合题意；

C．a6+4a3b+4b2＝（a3+2b）2，故此选项符合题意；

D．a2﹣a（b+1）＝a（a﹣b﹣1），故此选项不合题意；

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•利津县一模）因式分解：4x﹣4x3＝　4x（1+x）（1﹣x）　．

【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．

【解答】解：原式＝4x（1﹣x2）＝4x（1+x）（1﹣x），

故答案为：4x（1+x）（1﹣x）．

12．（2021•任城区校级一模）因式分解：﹣3x3+12x＝　﹣3x（x+2）（x﹣2）　．

【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．

【解答】解：原式＝﹣3x（x2﹣4）＝﹣3x（x+2）（x﹣2）．

故答案为：﹣3x（x+2）（x﹣2）．

13．（2021•垦利区一模）因式分解：a（a﹣b）+3（b﹣a）＝　（a﹣b）（a﹣3）．　．

【分析】先将a（a﹣b）+3（b﹣a）变形为a（a﹣b）﹣3（a﹣b），再提公因式，进而解决此题．

【解答】解：a（a﹣b）+3（b﹣a）

＝a（a﹣b）﹣3（a﹣b）

＝（a﹣b）（a﹣3）．

故答案为：（a﹣b）（a﹣3）．

14．（2021•淄川区一模）已知x＝，则（4x+y）2﹣（4x﹣y）2的值为 　4　．

【分析】利用完全平方公式化简，计算即可求出所求．

【解答】解：因为x＝，

所以（4x+y）2﹣（4x﹣y）2

＝（4x）2+2×4x×y+y2﹣（4x）2+2×4x×y﹣y2

＝4×4x×y

＝4×4××y

＝4．

故答案为：4．

15．（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　x2﹣1　．

【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．

【解答】解：根据题意得：

（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．

故答案为：x2﹣1．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•胶州市一模）已知5x2﹣x﹣2＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．

【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）

＝9x2﹣4+x2﹣2x

＝10x2﹣2x﹣4，

∵5x2﹣x﹣2＝0，

∴5x2﹣x＝2，

当5x2﹣x＝2时，原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝2×2﹣4＝0．

17．（2021•商河县校级模拟）先化简，再求值：（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a，b满足（a﹣2）2+|b﹣1|＝0．

【分析】根据整式的混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可．

【解答】解：（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b）

＝4ab3÷4ab﹣8a2b2÷4ab+4a2﹣b2

＝b2﹣2ab+4a2﹣b2

＝4a2﹣2ab，

∵（a﹣2）2+|b﹣1|＝0，

∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，

解得，a＝2，b＝1，

∴原式＝4×22﹣2×2×1＝12．

18．（2021•台儿庄区模拟）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．

例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝．

（1）填空：f（6）＝　　；f（9）＝　1　；

（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；

【分析】（1）仿照样例进行计算便可；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出f（t）的最大值即可．

【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3，

∵6﹣1＞3﹣2，

∴2×3是6的最佳分解，

∴f（6）＝，

9可分解成1×9，3×3，

∵9﹣1＞3﹣3，

∴3×3是9的最佳分解，

∴f（9）＝＝1，

故答案为：；1；

（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：

10b+a﹣10a﹣b＝9（b﹣a）＝54，

∴b﹣a＝6，

∵1≤a≤b≤9，

∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，

∴t为39，28，17；

∵39＝1×39＝3×13，

∴f（39）＝；

28＝1×28＝2×14＝4×7，

∴f（28）＝；

∵17＝1×17，

∴；

∴f（t）的最大值．