2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点07 不等式与不等式组

考点07 不等式与不等式组

考点总结

一、不等式的概念、性质及解集表示

1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

2．不等式的基本性质

注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．

3．不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．

（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．

二、一元一次不等式及其解法

1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．

2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．

三、一元一次不等式组及其解法

1．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．

2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．

3．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．

4．几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：

考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：

（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；

（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；

（3）求一元一次不等式组的最小整数解；

（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．

四、列不等式（组）解决实际问题

列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：

①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．

考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•兰山区模拟）不等式组的解集是（　　）

A．x≤3 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x≤3 D．x＞﹣2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式﹣2x﹣4＞0，得：x＜﹣2，

解不等式x﹣3≤0，得：x≤3，

则不等式组的解集为x＜﹣2，

故选：B．

2．（2021•郯城县模拟）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将不等式的解集表示在数轴上即可．

【解答】解：解不等式x+2＜0，得：x＜﹣2，

解不等式6﹣3x≥0，得：x≤3，

则不等式组的解集为x＜﹣2，

故选：B．

3．（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（　　）

A．﹣3 B． C． D．2

【分析】先去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再选取合适的x的值即可．

【解答】解：2（x﹣3）+3＜0，

去括号得，2x﹣6+3＜0，

移项得，2x＜6﹣3，

合并同类项得，2x＜3，

把x的系数化为1得，x＜．

∵，

∴2不是不等式2（x﹣3）+3＜0的解．

故选：D．

4．（2021•日照）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）

A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，

∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，

∴m≤3，

故选：C．

5．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

【解答】解：a＞b，

∴当a＞0时，a2＞ab，

当a＝0时，a2＝ab，

当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误

∵a＞b，

∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，

当|a|＝|b|时，a2＝b2，

当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；

∵a＞b，b＜0，

∴a+b＞2b，故③结论错误；

∵a＞b，b＞0，

∴a＞b＞0，

∴，故④结论正确；

∴正确的个数是1个．

故选：A．

6．（2021•博山区二模）不等式3（x﹣2）≤x+1的正整数解的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．

【解答】解：去括号，得：3x﹣6≤x+1，

移项，得：3x﹣x≤1+7，

合并同类项，得：2x≤7，

系数化为1，得：x≤3.5，

则正整数解有3，2，1共3个．

故选：C．

7．（2021•商河县校级模拟）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）

A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3

【分析】原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．

【解答】解：∵关于x的不等式组无解，

∴a≤3．

故选：A．

8．（2021•商河县校级模拟）不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．无数

【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．

【解答】解：去括号得：3x﹣6≤x+4，

解得：x≤5，

则满足不等式的非负整数解为：0，1，2，3，4，5共6个．

故选：C．

9．（2021•邹城市一模）函数y＝的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】函数y＝有意义，则分母必须满足，解得出x的取值范围，在数轴上表示出即可；

【解答】解：∵函数y＝有意义，

∴分母必须满足，

解得，，

∴x＞1；

故选：B．

10．（2020•安顺）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）

A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b 

C．a+1＜b+1 D．ma＞mb

【分析】根据不等式的基本性质进行判断．

【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；

B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；

C、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即a＜b，不等式a＜b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＜b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；

D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•潍城区二模）如图是一个运行程序，从“输入整数x”到“结果是否＞19”为一次操作程序，若输入x后程序操作仅进行了二次就停止，则输入整数x的值可能是 　B，C　．

A.7

B.9

C.11

D.13

【分析】根据程序操作仅进行了二次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再对照四个选项即可找出可能输入的整数值．

【解答】解：依题意得：，

解得：7＜x≤11．

又∵x为整数，

∴x可以为8，9，10，11，

故答案为：B，C．

12．（2021•诸城市三模）当8≤a＜11时，关于x的不等式组的整数解可能有 　BC　．

A.4个

B.3个

C.2个

D．1个

【分析】先解不等式组，再结合8≤a＜11，求出不等式组的整数解．

【解答】解：解不等式组得：≤x≤5，

∵8≤a＜11，

∴3≤＜4，

∴≤x≤5的整数解可能有：3、4、5或4、5，

故答案为：BC．

13．（2021•牡丹区三模）关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为 　2　．

【分析】分别求出各不等式的解集，与已知解集相比较即可求出m的取值范围．

【解答】解：，

由①得，x＜3，

由②得x≤m﹣1，

∵数轴上不等式解集的表示方法可知m﹣1＝1，即m＝2．

故答案为：2．

14．（2021•商河县校级模拟）小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本0.4元，那么他最多能买笔记本　5　本．

【分析】根据小明买笔记本所花的钱和练习本所花的钱≤30元，设他最多能买笔记本x本，就可列出不等式进行求解．

【解答】解：设他最多能买笔记本x本，则练习本30﹣x本．

由题意得：4x+0.4（30﹣x）≤30

得：x≤5

答：他最多能买笔记本5本．

故答案为：5．

15．（2020•绵阳）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 　≤m≤6　．

【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．

【解答】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，

∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，

①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；

②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，

∴m﹣6＜0，即m＜6，

∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，

∵x＞﹣4都能使x＞成立，

∴﹣4≥，

∴﹣4m+24≤2m+1，

∴m≥，

综上所述，m的取值范围是≤m≤6．

故答案为：≤m≤6．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•定陶区一模）（1）计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．

（2）解不等式组：．

【分析】（1）先计算乘方、绝对值和零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣+2×+1

＝﹣1+2﹣++1

＝2；

（2）解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，

解不等式﹣≤1，得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．

17．（2021•广饶县二模）某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元．

（1）求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？

（2）若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【分析】（1）根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案．

【解答】解：（1）设每支康乃馨和百合花的价格分别是x元、y元，

，

解得，

答：每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元；

（2）最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支，

理由：设购买康乃馨m支，则购买百合花（300﹣m）支，费用为w元，

w＝5m+10（300﹣m）＝﹣5m+3000，

∴w随m的增大而减小，

∵康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，

∴m≤2（300﹣m），

解得m≤200，

∴当m＝200时，w取得最小值，此时w＝2000，300﹣m＝100，

∴最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支．

18．（2021•牡丹区三模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节与2021菏泽市文化旅游发展大会将于4月9日在菏泽会盟台会议中心隆重开幕．为配合菏泽“牡丹花会”，花农孙老伯培育了甲、乙两种牡丹各若干株．如果培育甲、乙两种牡丹各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种牡丹3株和乙种牡丹2株，那么共需成本1200元．

（1）求甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为多少元？

（2）市场调查显示，甲种牡丹的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．孙老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种牡丹，并使总利润不少于18000元．若孙老伯培育的乙种花木的数量比甲种牡丹的数量的3倍少10株，请问孙老伯应该培育甲、乙两种牡丹各多少株？

【分析】（1）设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元、y元，根据每株成本乘以株数，把两种牡丹的成本相加得总成本，列二元一次方程组求解即可；

（2）设孙老伯培育甲种牡丹z株，则孙老伯培育乙种牡丹株（3z﹣10）株，然后根据题意列出不等式组即可求解．

【解答】解：（1）设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元、y元．

根据题意，得，

解之得，

答：甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为200元和300元．

（2）设孙老伯培育甲种牡丹z株，则孙老伯培育乙种牡丹株（3z﹣10）株．

根据题意，得，

解之得，

∴z＝29或30．

答：孙老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．