2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点13 三角形及其全等

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考点13 三角形及其全等考点总结一、三角形的基础知识1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；2）全等三角形的周长相等，面积相等；3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•滨州）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．12．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）A．3 B．4 C．5 D．2.43．（2021•菏泽）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°4．（2021•乐陵市一模）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）A．45° B．60° C．75° D．85°5．（2021•诸城市二模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）A． B． C． D．6．（2021•张店区二模）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　）A．40cm B．50cm C．60cm D．130cm7．（2021•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（　　）厘米．A．8 B．10 C．12 D．138．（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于（　　）A．1 B． C．﹣1 D．29．（2021•河口区校级模拟）已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（　　）A．168 B．84 C．84或36 D．168或7210．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°二．填空题（共5小题）11．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　   　．12．（2021•岱岳区三模）在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A（2，2）、B（8，4）两个城镇分别铺设管道输送燃气．其中A（2，2）、B（8，4）之间规划位置固定的生态保护区，其中C在A的正东方向，AC＝2，四边形CDEF为边长是3的正方形．现要求燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置使铺设管道的路线最短，则最短路程为 　   　．13．（2021•日照）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　   　时，△ABP与△PCQ全等．14．（2021•济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 　   　，使△ABC≌△ADC．15．（2021•商河县校级模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则表示△ABC重心的点是　   　．三．解答题（共3小题）16．（2021•海阳市一模）问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且D在线段AC的垂直平分线l上，BD＝BA．以直线l为对称轴，作△ABD的对称图形△CED．探究∠DBC与∠DEC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，可得到：①AB与AC的数量关系为 　   　；②∠BDE的度数为 　   　；③∠DBC与∠DEC度数的比值为 　   　；（2）如图2，当∠BAC≠90°，∠DBC与∠DEC度数的比值是否与（1）中的结论相同？并说明理由．17．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．18．（2021•莱芜区三模）如图1，△OAB和△OMN都是等腰三角形，∠O＝30°．（1）观察发现请直接写出：的值是 　   　，的值是 　   　；（2）问题探究如图2，△OAB固定不动，将△OMN绕着点O自由旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；（3）问题拓展△OAB固定不动，若OA＝2，OM＝3．当△OMN绕着点O在自由旋转过程中，点M、B、N在同一条直线上时，求出线段AM的长度．