2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点14 等腰三角形与直角三角形

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考点14 等腰三角形与直角三角形考点总结一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•商河县校级模拟）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（　　）A．35° B．55° C．60° D．70°2．（2021•桓台县一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021•济南模拟）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（　　）A．12 B．8 C．4 D．34．（2021•高青县一模）如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°+∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2021•禹城市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（　　）A． B． C．9 D．6．（2021•商河县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若AB＝13，AD＝12，则BC的长为（　　）A．5 B．10 C．20 D．247．（2021•商河县校级模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是（　　）A．50° B．65° C．25° D．65°或25°8．（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°9．（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC10．（2020•绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）A．16° B．28° C．44° D．45°二．填空题（共5小题）11．（2020•滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　   　．12．（2020•郯城县校级模拟）在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为 　   　．13．（2020•眉山）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为　   　．14．（2018•哈尔滨）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　   　．15．（2021•曹县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边作等边△ABC，则点C的坐标为　   　．三．解答题（共3小题）16．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．17．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．18．（2020•曹县三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE＝DF，求证：∠A＝∠B．