2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点20 图形的相似

考点20 图形的相似

考点总结

一、比例的相关概念及性质

1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．

2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．

3．比例的性质

4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．

二、相似三角形的判定及性质

1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；

3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

三、相似多边形

1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

四、位似图形

1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．

2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．

4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC点A（﹣2，3），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，在第二象限内将△ABC各边扩大为原来的2倍，再绕原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则变换后的点A的对应点A′的坐标为（　　）

A．（2，6） B．（4，2） C．（3，2） D．（6，4）

2．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　）

A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝

3．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）

A． B． C．2 D．3

4．（2021•招远市一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）

A．0.5m B．0.52m C．0.55m D．2.22m

5．（2021•历城区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标是（　　）

A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）

6．（2021•济宁一模）在△ABC和△A'B'C'中，有下列条件：①＝，②＝，③∠A＝∠A′，④∠C＝∠C'，如果从中任取两个条件组成一组，能判断△ABC∽△A'B'C'的共有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

7．（2021•济宁一模）两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm2，则较小的三角形的面积为（　　）cm2．

A．1 B．3 C．4 D．6

8．（2021•市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m．

A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5

9．（2021•周村区一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　）

A．4 B． C． D．5

10．（2021•博山区一模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，∠C＝90°，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点，若△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，则此时PC长为（　　）

A． B．2 C． D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•周村区二模）如图，△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB＝　   　．

12．（2021•广饶县二模）如图，已知正方形ABCD，点E在BC上延长线上，连接AE交CD于点F，△CEF与四边形ABCF的面积分别为1和8，则△ADF的面积为 　   　．

13．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 　   　．

14．（2021•德州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC＝2，P是线段OA的中点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，则PE的长为 　   　．

15．（2021•滨城区一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A'的坐标是　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•潍坊一模）（1）[问题发现]：

如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知△ACF∽△BCE．请直接写出线段BE与AF的数量关系；

（2）[实验研究]：

在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；

（3）[结论运用]：

在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．

17．（2021•龙口市模拟）在等腰△AMB中，AM＝AB，点C在边AM上，△MCD是直角三角形，∠CMD＝90°，∠MCD＝∠MAB，连接BC，BD，点O是BC的中点，连接AO．

（1）如图1，作AE⊥MB于E，连接OE．当∠AMB＝45°时，求证：△AOE相似于△BDM；

（2）如图2，当∠AMB＝30°时，线段BD与线段AO存在怎样的数量关系？写出证明过程．

18．（2021•饶平县校级模拟）【基础巩固】

（1）如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED．

【尝试应用】

（2）如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为边AD，AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB，求的值．

【拓展提高】

（3）如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB，PC，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长．