七年级数学下册考点精练专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算

专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算

【例题讲解】用简便方法进行计算．

（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．

（2）．

（3）（）×…×（）．

（4）1952+195×10+52．

【详解】解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，

＝21.4×（2.3+2.7+5），

＝21.4×10，

＝214；

（2）原式＝，

＝，

＝2；

（3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣），

＝，

＝，

＝；

（4）原式＝1952+2×195×5+52，

＝（195+5）2，

＝2002，

＝40000．

【综合解答】

1．用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．

2．利用因式分解计算：的结果是______．

3．利用因式分解简便运算：＝_____．

4．利用因式分解计算__________．

5．计算：__．

6．利用因式分解计算：______.

7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．

8．利用乘法公式简便计算．

(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；

(2)2020×2022－20212．

9．利用因式分解计算

(1)

(2)

10．利用因式分解计算：

（1）；

（2）．

11．利用因式分解进行简便运算：

（1）    （2）

12．利用因式分解进行简便计算：

（1）3×852﹣3×152；

（2）20212﹣4042×2019+20192．

13．利用因式分解计算：．

14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）

（1）；                 

（2）；

（3）；

（4）已知，，求的值．

15．简便计算：

（1）；

（2）；

（3）．

16．用简便方法计算：

（1）8502﹣1700×848+8482

（2）

17．简便计算

（1）      （2）

18．利用因式分解计算：

（1）

（2）

（3）

19．用简便方法计算：

（1）

（2）

20．利用因式分解计算：

21．利用因式分解计算：

（1）342+34×32+162

（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92

22．计算：

①2032﹣203×206+1032

②20192﹣2018×2020．

23．用简便方法计算．

（1）

（2）

24．利用因式分解计算：

25．利用因式分解简便计算：

26．利用因式分解计算：

（1）；

（2）.

27．利用乘法公式计算：

（1）.

（2）.

专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算

【例题讲解】用简便方法进行计算．

（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．

（2）．

（3）（）×…×（）．

（4）1952+195×10+52．

【详解】解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，

＝21.4×（2.3+2.7+5），

＝21.4×10，

＝214；

（2）原式＝，

＝，

＝2；

（3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣），

＝，

＝，

＝；

（4）原式＝1952+2×195×5+52，

＝（195+5）2，

＝2002，

＝40000．

【综合解答】

1．用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．

【答案】1．

【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.

【详解】20082﹣4016×2007+20072，

＝20082﹣2×2008×2007+20072，

＝（2008﹣2007）2，

＝1．

【点睛】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键.

2．利用因式分解计算：的结果是______．

【答案】8800

【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．

【详解】原式=

=

=

=8800．

故答案为：8800．

【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即．

3．利用因式分解简便运算：＝_____．

【答案】

【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；

【详解】原式＝

＝

＝．

故答案为：．

【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．

4．利用因式分解计算__________．

【答案】500

【分析】原式的分母利用平方差公式分解因式，再进行除法运算即可．

【详解】解：．

故答案为：500．

【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，属于基本题型，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

5．计算：__．

【答案】2

【分析】把分成，利用完全平方公式展开，计算即可．

【详解】

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．

6．利用因式分解计算：______.

【答案】29.4

【分析】根据提取公因式法，提取公因数14.7，进行简便计算，即可.

【详解】原式=

=

=29.4

故答案为：29.4.

【点睛】本题主要考查提取公因式法分解因式，提取公因数14.7，进行简便计算，是解题的关键.

7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．

【答案】90000．

【分析】将式子改写为完全平方公式的形式进行计算.

【详解】原式

．

故答案为90000．

【点睛】本题考查利用完全平方公式计算，熟练掌握公式的形式是关键.

8．利用乘法公式简便计算．

(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；

(2)2020×2022－20212．

【答案】(1)25

(2)-1

【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；

（2）根据平方差公式计算即可

【详解】（1）4.3212＋8.642×0.679＋0.6792

（2）2020×2022－20212

【点睛】本题考查了利用乘法公式简便计算，掌握乘法公式是解题的关键．

9．利用因式分解计算

(1)

(2)

【答案】(1)36

(2)31.4

【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解；

（2）先提取公因式，再进行计算即可．

【详解】（1）解：

（2）解：

【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．

10．利用因式分解计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）314；（2）508000

【分析】（1）利用提取公因式法计算；

（2）应用平方差公式计算．

【详解】解：（1）原式；

（2）原式．

【点睛】本题考查因式分解的应用，属于基础题型．

11．利用因式分解进行简便运算：

（1）    （2）

【答案】（1）2021；（2）40000

【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；

（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．

【详解】（1）解：原式

．

（2）解：原式

【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．

12．利用因式分解进行简便计算：

（1）3×852﹣3×152；

（2）20212﹣4042×2019+20192．

【答案】（1）21000；（2）4

【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可；

（2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可．

【详解】解：（1）3×852﹣3×152

=3×（852-152）

=3×（85+15）×（85-15）

=3×100×70

=21000；

（2）20212﹣4042×2019+20192

=20212-2×2021×2019+20192

=（2021-2019）2

=22

=4．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

13．利用因式分解计算：．

【答案】3120000

【分析】先提取24，再利用平方差公式即可求解．

【详解】

=

=

=

=3120000．

【点睛】此题主要考查因式分解的运用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．

14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）

（1）；                 

（2）；

（3）；

（4）已知，，求的值．

【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4）

【分析】（1）根据因式分解的方法，提出公因数，进而计算即可；

（2）提出公因数，再进行计算即可；

（3）提出公因数，再进行计算即可；

（4）提出公因式，进而代入求值即可；

【详解】（1）

；                 

（2）

；

（3）

；

（4）

当，时，

原式．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．

15．简便计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000

【分析】（1）利用平方差公式即可求解；

（2）提取8，故可求解；

（3）利用完全平方公式即可求解．

【详解】（1）

=

=10×4.58

=45.8；

（2）

=

=8×10

=80

（3）

=

=

=20002

=4000000．

【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．

16．用简便方法计算：

（1）8502﹣1700×848+8482

（2）

【答案】（1）4；（2）．

【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式化简，计算即可得到结果．

（2）利用平方差公式分解后，计算即可得到结果．

【详解】解：（1）8502﹣1700×848+8482

=8502-2×850×848+8482

=(850-848)2

=4；

（2）

．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．

17．简便计算

（1）      （2）

【答案】（1）；（2）90000

【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算；

（2）利用完全平方公式变形计算．

【详解】解：（1）

=

=

=

=

=；

（2）

=

=

=90000

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用．

18．利用因式分解计算：

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）5050；（2）564；（3）

【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；

（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；

（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．

【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12

=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）

=100+99+98+97+…+4+3+2+1

=101×50

=5050；

（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）

=1+24××（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）

=1+564-1

=564；

（3）

=

=

=

【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19．用简便方法计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得到答案；

（2）把原式化为：，再利用完全平方公式进行计算即可得到答案．

【详解】解：（1）

（2）

【点睛】本题考查的是利用平方差公式与完全平方公式进行简便计算，掌握两个公式的特点是解题的关键．

20．利用因式分解计算：

【答案】0

【分析】先提取公因数2015进行分解，然后再进行计算即可．

【详解】

=

=

．

【点睛】本题考查了利用因式分解进行计算，熟练掌握提公因式法是解此题的关键．

21．利用因式分解计算：

（1）342+34×32+162

（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92

【答案】（1）2500；（2）100．

【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可；

（2）根据完全平方公式计算即可．

【详解】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；

（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．

【点睛】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键．

22．计算：

①2032﹣203×206+1032

②20192﹣2018×2020．

【答案】①10000；②1．

【分析】①根据完全平方公式计算即可；

②根据平方差公式计算即可．

【详解】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032

＝（203﹣103）2

＝1002

＝10000；

②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）

＝20192﹣（20192﹣1）

＝20192﹣20192+1

＝1．

【点睛】本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：．完全平方公式：．

23．用简便方法计算．

（1）

（2）

【答案】（1）45.8；（2）-20

【分析】（1）利用平方差公式进行计算；

（2）提出，然后进行计算即可.

【详解】（1）

=（7.29+2.71）（7.29-2.71）

=10×4.58

=45.8；

（2）

=

=

=-20

【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是关键.

24．利用因式分解计算：

【答案】

【分析】将分子与分母分别化简变形进而得出答案．

【详解】解：原式=

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变形是解题关键．

25．利用因式分解简便计算：

【答案】

【分析】利用平方差公式计算即可.

【详解】解：原式=

【点睛】本题主要考查了平方差公式因式分解进行简算，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

26．利用因式分解计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）97800；（2）0.0386

【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算.

【详解】(1)原式.

(2)原式.

【点睛】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.

27．利用乘法公式计算：

（1）.

（2）.

【答案】（1）1（2）

【分析】(1)观察算式，把2018和2020分别用2019-1和2019+1表示，利用平方差公式对这一部分进行运算，然后再去括号相加减即可；

(2)将99.8表示成100-0.2，然后利用完全平方公式展开运算即可.

【详解】（1）原式

（2）原式

【点睛】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式并运用是解题的关键.