初中数学中考复习 专题09 一元二次方程及其应用（原卷版）

专题09 一元二次方程及其应用

1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

4.一元二次方程的解法

有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

（1）直接开方法。

适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；

②移项——把常数项移项到等号的右边；

③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；

④开方，即降次；

⑤解一次方程。

（3）公式法。

当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。

5.一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

【例题1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4．

【例题2】(2019山西）一元二次方程配方后可化为（     ）

A.     B.    C.     D.

【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　            　．

【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　    　．

【例题5】（2019北京市） 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是　   　．

【例题7】 (2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（　　）

A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年

一、选择题

1.( 2019甘肃省兰州市) x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（    ）

A. －2        B. －3       C. 4       D.  －6

2.（2019•湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　）

A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2

3.（2019•浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（    ）           

A. (x-3)2=17    B. (x-3)2=14     C. （x-6)2=44    D. (x-3）2=1

4. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1

5.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（   ）

A. 34  B.30   C.30或34  D.30或36

6.（2019•山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）

A．k≥0       B． k≥0且k≠2      C．k≥     D．k≥且k≠2

7. （2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）

A．12 B．10 C．4 D．﹣4

8. （2019•江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1 、x2  则x1+x2等于（　　）

A．﹣6          B．6           C．﹣3        D．3

9.（2019山东淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0

10. （2019•广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（   ）

A．x1≠x2        B．x12﹣2x1=0      C．x1+x2=2        D．x1·x2=2

11.（2019•广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，

则m等于（　　）

A．﹣2      B．﹣3        C．2       D．3

 12．（2019•浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（　　）

A．m＝﹣1       B．m＝0         C．m＝4      D．m＝5

13.（2019▪黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）

A．20%     B．40%       C．18% D．36%

14. （2019•湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）

A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1

二、填空题

15. （2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　　   　．

16. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为               .

17.（2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为     （写出一个即可）

18.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　   　．

19. （2019广西桂林）一元二次方程的根是　　　　．

20.（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　    　．

21.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　　．

22.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝　 　．

23.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为　    　．

24.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　    　．（用百分数表示）

25.（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是　    　．

26.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于　  　．

27.（2019年浙江省嘉兴市）在x2+　　+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．

28.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　       　．

三、解答题

29.（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？

30. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.

(1)求k的取值范围;

(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.

31. （ 2019湖北十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求a的取值范围；

（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．

32. （2019孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）若a为正整数，求a的值；

（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．

33.（2019江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？

34.（2019•湖南衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

35. （2019•广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

36. （2019•湖南长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

37. （2019•湖南邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．

38.（2019▪湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．

39. （2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

40. （2019•山东省德州市 ）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率

不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．