初中数学中考复习 专题9不等式（组）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第02期）

这是一份初中数学中考复习 专题9不等式（组）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第02期），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）
专题9不等式（组）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·湖南常德市·中考真题）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意；
B. 在不等式两边同时除以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意；
C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意；
D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．
2．（2021·湖南株洲市·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】
先解不等式组中的每一个不等式，再利用不等式组解集的口诀“同小取小”得出解集．
【详解】
解：
由①，得：x≤2，
由②，得：x＜1，
则不等式组的解集为：x＜1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，关键在于根据解集的特点确定解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解得到．
3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．
【详解】
解不等式x+1＜0，得x＜-1，
解不等式，得，
所以这个不等式组的解集为，在数轴上表示如选项A所示，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．
4．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.
【详解】
∵，
解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则，
∴，
故选A.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键．
5．（2021·河北中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
直接运用不等式的性质3进行解答即可．
【详解】
解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得，
∴“”中应填的符号是“”，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．
6．（2021·广西中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
7．（2021·湖南怀化市·中考真题）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；
带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
【详解】
解不等式
得：，
解不等式
得：，
故不等式组的解集为：-2≤x＜2，
在数轴上表示为：

故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法；依次解不等式，注意空心点和实心点的区别是解题关键．
8．（2021·山东威海市·中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤-1，
∴不等式组的解集为-3 将不等式组的解集表示在数轴上如下：

故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
9．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】
解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
10．（2021·内蒙古中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．
【详解】
解：由，
∴，
得：，
∵解集为，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
11．（2021·福建中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】
求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
【详解】
解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
12．（2021·山东聊城市·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【分析】
先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】
解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点睛】
本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键．
13．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】
解：解不等式得，
，
解不等式得，
，
∵该不等式组无实数解，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
二、填空题
14．（2021·湖北襄阳市·中考真题）不等式组的解集是______．
【答案】
【分析】
分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案．
【详解】

解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
15．（2021·四川宜宾市·中考真题）不等式2x﹣1＞1的解集是______．
【答案】
【分析】
根据不等式的基本性质，解不等式即可．
【详解】

解得：
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解不等式的性质，根据不等式的基本性质解不等式是解题的关键．
16．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】
解：由关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
17．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
【答案】
【分析】
根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
【详解】
解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，
∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴，解得，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
18．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
【答案】-1 【分析】
分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解列不等式即可得答案．
【详解】
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式的解集为1≤x＜，
∵不等式组只有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴2＜≤3，
解得：-1＜a≤1，
故答案为：-1＜a≤1
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式组是解题关键．
19．（2021·湖南中考真题）已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值________．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】
求出不等式组的解集即可得．
【详解】
解：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
因此，一个符合条件的值是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
20．（2021·山东东营市·中考真题）不等式组的解集是________．
【答案】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，再求其解集即可
【详解】
解不等式




解不等式



解集
故答案为：．
【点睛】
本题考查了不等式组的解集，不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集是解题的关键．
21．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，在数轴上表示x的取值范围是________．

【答案】
【分析】
根据数轴可知，表示x的数在数2的右边，且不等于2，因此即可判断x的取值范围 ．
【详解】
由数轴知：，
故答案为：x>2．
【点睛】
本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈．
22．（2021·湖南张家界市·中考真题）不等式的正整数解为______．
【答案】3
【分析】
直接解出各个不等式的解集，再取公共部分，再找正整数解即可．
【详解】
解：由，
解得：，
由，
原不等式的解集是：．
故不等式的正整数解为：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组的解集和求不等式组的正整数解，解题的关键是：掌握解不等式组的基本运算法则，求出解集后，找出满足条件的正整数解即可．
23．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【分析】
设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】
解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
24．（2021·青海中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵点在第四象限
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
25．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
【答案】m＞-7且m≠-3
【分析】
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】
解：由，得：且x≠2，
∵关于的方程的解是正数，
∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
26．（2021·浙江衢州市·中考真题）不等式的解为_________．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质求解即可．
【详解】
解：
去括号得：
不等号两边同减y得：
解得：．
【点睛】
本题主要考查根据不等式的性质解不等式，需要注意的是不等式的性质3，不等号两边同时乘(或除)一个相同的负数，不等式的符号改变．
27．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】
解：解不等式，
得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．

三、解答题
28．（2021·江苏无锡市·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3
【分析】
（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：（1），
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2），
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
29．（2021·湖北武汉市·中考真题）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得_____________；
（2）解不等式②，得_____________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是_____________．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】
（1）根据不等式的基本性质解不等式；
（2）根据不等式的基本性质解不等式；
（3）在数轴上表示解集；
（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
（1）


（2）



（3）如下图所示

（4）取和的公共部分，即．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
30．（2021·天津中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：


（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）．
【分析】
根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答．
【详解】
（Ⅰ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅲ）在数轴上表示为：
；
（Ⅳ）原不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．
31．（2021·江苏盐城市·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】
解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分．
【详解】

解：解不等式①得：
解不等式②得：
在数轴上表示不等式①、②的解集（如图）

∴不等式组的解集为．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
32．（2021·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解不等式组

的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误，正确的过程见解析
【分析】
利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题．
【详解】
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
由①，得，
所以，
所以；
由②，得，
所以，
所以，
所以，
将不等式组的解集表示在数轴上：


所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
33．（2021·黑龙江中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【分析】
（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可；
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．
【详解】
解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：
，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，
∴，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为5、6、7，
∴共有三种购买方案：
购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，
答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【点睛】
本题主要考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用是解题的关键．
34．（2021·贵州铜仁市·中考真题）某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别微运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？
【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【分析】
（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨．
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40，
∵k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10．
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键．
35．（2021·江苏无锡市·中考真题）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【分析】
（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【点睛】
本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．
36．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
【答案】（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【分析】
（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】
解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，
依题意，得： ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24．
答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式：
m≥(300-m)，解得：m≥75，
∴75≤m≤300，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(300-m)=5m+4500，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=75时，W有最小值，
∴W=5×75+4500=4875元
∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
37．（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米．
【分析】
（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，
由题意得：，
解得，
则（千米），（千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米），
乙工程队每天对其施工的长度（千米），
设甲工程队后期每天施工千米，
则，
解得，
即，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
38．（2021·湖南娄底市·中考真题）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．
【答案】（1）购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）共有7种进货方案；所花资金的最小值为770元．
【分析】
（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元；购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为元，根据总价=单价×数量得到关于m的函数解析式，结合进货资金不少于766元且不超过800元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再由m为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出答案．
【详解】
解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，
根据题意得：，
解得：；
答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；
（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为元，
∴，
根据题意得：，
解得：53.2≤m≤60．
∵m为整数，
∴m=54、55、56、57、58、59或60．
∴共有7种进货方案；
∵5>0，
∴随m的增大而增大，
∴m=54时，有最小值，最小值为770元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出关于m的函数解析式和一元一次不等式组．
39．（2021·福建中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
【答案】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元
【分析】
（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】
解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．
依题意，得
解得
所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为箱，
∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%
∴
依题意，得．
因为，所以w随着m的增大而增大，
所以时，取得最大值49000元，
此时．
所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．
40．（2021·广西柳州市·中考真题）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱
【分析】
（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．
【详解】
解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
41．（2021·海南中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．

【答案】（1）；（2）．解集在数轴上表示见解析．
【分析】
（1）先计算有理数的乘方、化简绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再计算有理数的混合运算即可得；
（2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：（1），
，
，
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则这个不等式组的解集是．
解集在数轴上表示如下：

【点睛】
本题考查了有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、解一元一次不等式组，熟练掌握各运算法则和不等式组的解法是解题关键．
42．（2021·广西玉林市·中考真题）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度．
（1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值．
【答案】（1）焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电300、250度；（2）a最小值为11
【分析】
（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，根据题意列出方程，求解即可．
（2）根据（1）中的数据，表示出改进后的发电量，列出不等式并求解即可．
【详解】
（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，
100（x+50）+100x=55000，
解方程得x=250，
则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度；
（2）由（1）可知改进后A、B发电量分别为300（1+%），250（1+%），
根据题意列式：100×300（1+%）+100×250（1+%）≥55000+55000×%，
解不等式得：a≥11，
则a的最小值为11．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程解决实际问题、一次不等式求最值等相关知识点，理解题意的等量关系是解决问题的关键．
43．（2021·四川广元市·中考真题）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．
【分析】
（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的”列出不等式组，求解即可；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，

解得，
∵x是整数，
∴x=9，10或11
∴20-x=12，10或9
故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，
在甲商场花费：元；
在乙商场花费：元；
∴要使学校到甲商场花费最少，则有：

解得，
∵，且x是整数，
∴x=9,
即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解．
44．（2021·湖北荆州市·中考真题）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
【答案】（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元；（2），，当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元．
【分析】
（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可直接列出与之间的函数关系式，进而可得，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，由题意得：
，
解得：，
答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元．
（2）由（1）及题意得：百合有（11-x）支，则有，
，
∵百合不少于2支，
∴，解得：，
∵-1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=9时，w取最小值，最小值为，
∴当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用是解题的关键．