还剩19页未读，
继续阅读
初中数学中考复习 专题10 锐角三角函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版）
展开
这是一份初中数学中考复习 专题10 锐角三角函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版），共22页。
专题10 锐角三角函数及其运用复习考点攻略
考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．
考点二 特殊角的三角函数值
α
sinα
tanα
30°
45°
1
60°
【例2】的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故选C．
考点三 解直角三角形
1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）
【答案】
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．
【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．
⑴ 判断、的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，
，，，，）
【答案】（1）见解析；（2）3.6km
【解析】（1）相等，证明：∵，，∴，
．又∵，∴．
在与中，，，，
∴，∴．
（2）作，垂足为，
设，则，，．
中，，∴，即，
∴，即．
考点四 锐角三角函数的应用
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
6.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）
【答案】1983米
【解析】：如图，作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．
又∵BE⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形．
在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，
∴∠CBF＝45°．
∵BC＝2600米，
∴米．
∴米．
∵A，B的水平距离AE＝1000米，
∴米．
∵∠CAD＝35°，
∴（米）．
答：山高CD约为1983米．
【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）71海里；（2）见解析
【解析】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．
依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈71．
答：B处距离灯塔P约71海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣71＝79＞60．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
海伦从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
2. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【解析】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立故选：B．
3. 已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．不能确定
【答案】A
【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故选A．
4. 若∠A是锐角，且sinA= 13，则（ ）
A. 0°<∠A<30° B. 30°<∠A<45° C. 45°<∠A<60° D. 60°<∠A<90°
【答案】 A
【解析】∵sin0°＝0，sinα＝ 13，sin30°＝ 12，
又0＜ 13＜ 12，
∴0°＜α＜30°．
故答案为：A．
5. 点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （√32 ， 12） B. （- √32 ， 12 ） C. （- √32 ，- 12 ） D. （- 12，- 32）
【答案】 A
【解析】∵sin60°=√32 ，cos60°= 12 ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- √32， 12），
关于y轴对称点的坐标是（ √32， 12）．
故答案为：A．
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，
∴．故选：D．
7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】 解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
8. 菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，
则tan=tan∠OBA.故选A.
9. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2 ， 则sin∠ABC的值为 （ ）
A. 34 B. 35 C. 45 D. 53
【答案】 C
【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
15π=π6R，
解得：R=5.
∴圆锥的高为4，
∴.
故答案为：C.
10. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令AF=x，
∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，
又∵BC=6，∴，∴．故答案选D．
第二部分 填空题
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11..若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是________．
【答案】 75°
【解析】【解答】由tan(α−15°)= √3，得
α−15°=60°，
解得α=75°，
故答案为：75°
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得，即，
∴AC=5．由勾股定理，得AB=．所以sinB=，
故答案为：．
13. 如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．
【答案】
【解析】解：∵△OBC是等边三角形∴∠COB=60°
∴∠A==30°∴=．故答案为．
14. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案为：．
15. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【解析】解：在中，
∵，∴．
在中，．
故答案为：10．
16. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
【答案】10
【解析】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．
第三部分 解答题
二、解答题（本题有7小题，共46分）
17. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？
【答案】6
【解析】解：在中，
是的平分线，又 ，
在中， ，．故答案为：．
18. 已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．
（1）求边AB的长；
（2）求cos∠BAE的值．
【答案】（1）2√5 ；（2）35
【解析】（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=4，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD==，∴OC=2，
∴AB=BC===2；
（2）∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC·AE=BD·AC，
∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=，
∴BE===，
∴cos∠ABE===．
19. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
20. 如图，某船向正东航行，在A处望见海岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，此时测得海岛C在北偏东45°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向正东航行，有触礁的危险吗?
【答案】见解析
【解析】 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，∴BD=CD，
设CD=x，∴AD=AB+6=6+x，
在Rt△CAD中，tan∠CAD= CDAD，
∴ √33 = xx+6，
3x=6 √3+ √3x，
（3- √3）x=6 √3，
解得x=3 √3+3＞6，
答：若船继续向东航行，无触礁危险。
21. 如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°．若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长．（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】见解析
【解析】解：∵∠EAD＝31°，∠β＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠ADC＝31°．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠ADC＝31°，AC＝1208m，
∴CD＝＝≈2013.3m，
在Rt△ACB中，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝45°，AC＝1208m，
∴BC＝AC＝1208m，
∴BD＝CD﹣BC≈2013.3﹣1208≈805（m）．
答：隧道BD的长约为805m．
22. 如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分‘天柱’定，悠然在潜山”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）
【答案】26米
【解析】解：∵∠EBF＝∠BEC﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，
∴∠EBF＝∠F＝30°，
∴BE＝EF＝30（米），
在Rt△BCE中，sin60°＝，
∴BC＝BEsin60°＝30×≈26（米），
答：宣传条幅BC的长约为26米．
23. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【答案】51m
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
专题10 锐角三角函数及其运用复习考点攻略
考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．
考点二 特殊角的三角函数值
α
sinα
tanα
30°
45°
1
60°
【例2】的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故选C．
考点三 解直角三角形
1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）
【答案】
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．
【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．
⑴ 判断、的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，
，，，，）
【答案】（1）见解析；（2）3.6km
【解析】（1）相等，证明：∵，，∴，
．又∵，∴．
在与中，，，，
∴，∴．
（2）作，垂足为，
设，则，，．
中，，∴，即，
∴，即．
考点四 锐角三角函数的应用
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
6.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）
【答案】1983米
【解析】：如图，作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．
又∵BE⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形．
在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，
∴∠CBF＝45°．
∵BC＝2600米，
∴米．
∴米．
∵A，B的水平距离AE＝1000米，
∴米．
∵∠CAD＝35°，
∴（米）．
答：山高CD约为1983米．
【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）71海里；（2）见解析
【解析】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．
依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈71．
答：B处距离灯塔P约71海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣71＝79＞60．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
海伦从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
2. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【解析】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立故选：B．
3. 已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．不能确定
【答案】A
【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故选A．
4. 若∠A是锐角，且sinA= 13，则（ ）
A. 0°<∠A<30° B. 30°<∠A<45° C. 45°<∠A<60° D. 60°<∠A<90°
【答案】 A
【解析】∵sin0°＝0，sinα＝ 13，sin30°＝ 12，
又0＜ 13＜ 12，
∴0°＜α＜30°．
故答案为：A．
5. 点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （√32 ， 12） B. （- √32 ， 12 ） C. （- √32 ，- 12 ） D. （- 12，- 32）
【答案】 A
【解析】∵sin60°=√32 ，cos60°= 12 ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- √32， 12），
关于y轴对称点的坐标是（ √32， 12）．
故答案为：A．
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，
∴．故选：D．
7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】 解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
8. 菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，
则tan=tan∠OBA.故选A.
9. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2 ， 则sin∠ABC的值为 （ ）
A. 34 B. 35 C. 45 D. 53
【答案】 C
【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
15π=π6R，
解得：R=5.
∴圆锥的高为4，
∴.
故答案为：C.
10. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令AF=x，
∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，
又∵BC=6，∴，∴．故答案选D．
第二部分 填空题
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11..若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是________．
【答案】 75°
【解析】【解答】由tan(α−15°)= √3，得
α−15°=60°，
解得α=75°，
故答案为：75°
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得，即，
∴AC=5．由勾股定理，得AB=．所以sinB=，
故答案为：．
13. 如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．
【答案】
【解析】解：∵△OBC是等边三角形∴∠COB=60°
∴∠A==30°∴=．故答案为．
14. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案为：．
15. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【解析】解：在中，
∵，∴．
在中，．
故答案为：10．
16. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
【答案】10
【解析】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．
第三部分 解答题
二、解答题（本题有7小题，共46分）
17. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？
【答案】6
【解析】解：在中，
是的平分线，又 ，
在中， ，．故答案为：．
18. 已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．
（1）求边AB的长；
（2）求cos∠BAE的值．
【答案】（1）2√5 ；（2）35
【解析】（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=4，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD==，∴OC=2，
∴AB=BC===2；
（2）∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC·AE=BD·AC，
∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=，
∴BE===，
∴cos∠ABE===．
19. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
20. 如图，某船向正东航行，在A处望见海岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，此时测得海岛C在北偏东45°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向正东航行，有触礁的危险吗?
【答案】见解析
【解析】 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，∴BD=CD，
设CD=x，∴AD=AB+6=6+x，
在Rt△CAD中，tan∠CAD= CDAD，
∴ √33 = xx+6，
3x=6 √3+ √3x，
（3- √3）x=6 √3，
解得x=3 √3+3＞6，
答：若船继续向东航行，无触礁危险。
21. 如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°．若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长．（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】见解析
【解析】解：∵∠EAD＝31°，∠β＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠ADC＝31°．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠ADC＝31°，AC＝1208m，
∴CD＝＝≈2013.3m，
在Rt△ACB中，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝45°，AC＝1208m，
∴BC＝AC＝1208m，
∴BD＝CD﹣BC≈2013.3﹣1208≈805（m）．
答：隧道BD的长约为805m．
22. 如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分‘天柱’定，悠然在潜山”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）
【答案】26米
【解析】解：∵∠EBF＝∠BEC﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，
∴∠EBF＝∠F＝30°，
∴BE＝EF＝30（米），
在Rt△BCE中，sin60°＝，
∴BC＝BEsin60°＝30×≈26（米），
答：宣传条幅BC的长约为26米．
23. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【答案】51m
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
相关试卷
中考数学二轮复习专题讲与练专题10 锐角三角函数及其运用（含解析）： 这是一份中考数学二轮复习专题讲与练专题10 锐角三角函数及其运用（含解析），共22页。
初中数学中考复习 专题06 二次函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版）： 这是一份初中数学中考复习 专题06 二次函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版），共13页。
初中数学中考复习 专题02 整式的运算（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版）： 这是一份初中数学中考复习 专题02 整式的运算（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版），共8页。试卷主要包含了整式，单项式，整式的乘法，整式的除法，乘法公式等内容，欢迎下载使用。
