初中数学中考复习 专题11 三角形（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题11 三角形（解析版），共20页。试卷主要包含了三角形，三边关系，中线，角平分线，三角形的稳定性，多边形内角和公式，多边形的外角和，多边形对角线的条数等内容，欢迎下载使用。
专题11 三角形

知识点1：与三角形有关的线段
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
知识点2：与三角形有关的角
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点3：多边形与内角和
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。（2）n边形共有条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。在记忆和理解这些知识点时，最好的办法就是通过作图，进行对比，理解。对有的重要定理、性质一定要学习老师教给的方法技巧，最重要的自己一定要独立的给以证明。


【例题1】（2020•济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是　　（写出一个即可）．
【答案】4
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，
故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以，4．
【例题2】（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
【例题3】（2020•鄂州）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．35° C．55° D．65°
【答案】A
【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．
如图：

∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵a∥b，
∴∠4+∠2＝∠3＝70°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．
【例题4】（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】＝．
【解析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
∵S△ABC=12×2×4＝4，S△ABD＝2×5-12×5×1-12×1×3-12×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD
【例题5】（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解析】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8．



《三角形》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．8 D．11
【答案】C．
【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
2．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B．
【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线。
3．下列图形具有稳定性的是（　　）

A B C D
【答案】A．
【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【答案】B．
【解析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
A．∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B．8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C．5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D．6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误。
5.在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（　　）
A.150° B.135° C.120° D. 100°
【答案】B．
【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解．
设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，
所以，α+3α=180°，
解得α=45°，
3α=3×45°=135°．
6.在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C．
【解析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是180°是解答此题的关键．
在△ABC中，根据三角形内角和是180度来求∠C的度数．
∵三角形的内角和是180°，
又∠A=95°，∠B=40°
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣95°﹣40°=45°
7.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（　　）

A.59° B.60° C.56° D.22°
【答案】A．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。
∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°
8．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
9．（2020•福建）如图的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　　度．

【答案】30．
【解析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．
正六边形的每个内角的度数为：(6-2)⋅180°6=120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
10．（2020•淮安）六边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【答案】C
【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解析】根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°＝720°．
11．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．
【解析】设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
12．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）

A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】B
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．
二、填空题（每空3分，共24分）
13．已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是　　．
【答案】22cm．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
当腰长为4cm时，4+4＜9cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为9cm时，符合三边关系，其周长为9+9+4=22cm．
故该三角形的周长为22cm．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　　．
【答案】7．
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，∴c=7
15.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=　　度．

【答案】110．
【解析】

∵a∥b，∠1=40°，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=∠2+∠4=70°+40°=110°．
16.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　）

A．35° B．95° C．85° D．75°
【答案】C．
【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°
17．（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　 　．

【答案】140°．
【解析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．
如图，

∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，
∵∠D＝45°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°
18．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝　　．
【答案】12．
【解析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．
正六边形的一个内角为：(6-2)×180°6=120°，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12．
19．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是　　．
【答案】6．
【解析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．
20．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为　　度．
【答案】36．
【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
三、解答题（6个小题，每题10分，共60分）
21.如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．

【答案】143°．
【解析】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
连接AD并延长AD至点E，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C，即可求出答案．
如图，连接AD并延长AD至点E，

∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C
∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，
∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．
22．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

【答案】18°
【解析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
23.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．

【答案】AC的长为5cm．
【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．
依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
24.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．

【答案】见解析。
【解析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，
∴∠A+∠1=138°
又∵∠A+10°=∠1
∴∠A+∠A+10°=138°
解得：∠A=64°．
∴∠A=∠ACD=64°
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
25.如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P=　　°；
（2）若∠A=90°，则∠P=　　°；
（3）若∠A=100°，则∠P=　　°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．

【答案】见解析。
【解析】若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴，，
∴=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣∠A．
26．如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，求∠BOD的度数。

【答案】40°
【解析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
延长BC交OD与点M，如图所示．

∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．