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初中数学中考复习 专题12（河北专用）（解析版）-2021年31个地区中考数学精品模拟试卷
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这是一份初中数学中考复习 专题12（河北专用）（解析版）-2021年31个地区中考数学精品模拟试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021河北省石家庄市中考数学精品试卷
（满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（共16小题，1——10题各3分、11——16各2分，满分42分）
1．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OCA＝∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，
得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMD=∠DMO，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个.
2．下列各数中，是负数的为（ ）
A．﹣1 B．0 C．0.2 D．12
【答案】A
【解析】利用正数与负数的定义判断即可．
﹣1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；12是正数．
3．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）
A．423米 B．143米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝423（米）
4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1
5．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
6．对于x,y定义一种新运算“☆”，，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为( )
A.-1 B.-11 C.59 D.11
【答案】-11
【解析】根据题中的新定义得：，
解得：，
所以
7．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，故A正确；
B．∵∠2＝∠A+∠3，
∴∠2＞∠3，故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；
D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.
8．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4000亿＝400000000000＝4×1011，
9.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可．
A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形；
B是中心对称图形；
C属于中心对称图形；
D是轴对称图形，不属于中心对称图形.
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【答案】D
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解析】由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AEB+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确.
11．下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
【答案】B
【解析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适.
12．如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
13．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为( )
A.1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】当x＝625时，x＝125，
当x＝125时，x＝25，
当x＝25时，x＝5，
当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时，x＝1，
…
依此类推，以5，1循环，
（2020﹣2）÷2＝1010，
即输出的结果是1
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥
【答案】A
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
15．已知x＝2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．
【解析】把x＝2代入分式方程得：k2-1＝1，
解得：k＝4．
16．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A．（0，23） B．（2，﹣4）
C．（23，0） D．（0，23）或（0，﹣23）
【答案】D
【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．
根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO=42-22=23=OC，
∴点C的坐标为（0，-23），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，23），
∴点C的坐标为（0，23）或（0，-23）.
二、填空题（共3小题，每题4分，满分12分）
17．计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1=_______
【答案】8
【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
原式＝5﹣1+2×12+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18．若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ．
【答案】﹣2．
【解析】x-1x+1
=x(x+1)-1x+1
=x2+x-1x+1，
∵x2+3x＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣3x，
∴原式=-1-3x+x-1x+1=-2x-2x+1=-2(x+1)x+1=-2，
19．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为______
【答案】71313
【解析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC＝3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313
三、解答题（共7小题，满分66分）
20．（6分）计算：
【答案】．
【解析】先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
原式
．
21．（10分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
22.（9分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，
【解析】（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
（2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
（4）根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝
【点拨】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
23．（9分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【解析】（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE=AD2+DE2=9+4=13，
∴BD=13；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF=AFAC，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×32=32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×12=12，
FD＝CD﹣CF＝2-12=32，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，
∴AD=3．
24.（10分）
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-2x<3，解集在数轴上表示见解析.
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x-2.
所以原不等式组解集为-2x<3.
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
25．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．
26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
2021河北省石家庄市中考数学精品试卷
（满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（共16小题，1——10题各3分、11——16各2分，满分42分）
1．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OCA＝∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，
得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMD=∠DMO，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个.
2．下列各数中，是负数的为（ ）
A．﹣1 B．0 C．0.2 D．12
【答案】A
【解析】利用正数与负数的定义判断即可．
﹣1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；12是正数．
3．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）
A．423米 B．143米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝423（米）
4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1
5．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
6．对于x,y定义一种新运算“☆”，，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为( )
A.-1 B.-11 C.59 D.11
【答案】-11
【解析】根据题中的新定义得：，
解得：，
所以
7．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，故A正确；
B．∵∠2＝∠A+∠3，
∴∠2＞∠3，故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；
D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.
8．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4000亿＝400000000000＝4×1011，
9.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可．
A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形；
B是中心对称图形；
C属于中心对称图形；
D是轴对称图形，不属于中心对称图形.
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【答案】D
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解析】由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AEB+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确.
11．下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
【答案】B
【解析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适.
12．如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
13．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为( )
A.1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】当x＝625时，x＝125，
当x＝125时，x＝25，
当x＝25时，x＝5，
当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时，x＝1，
…
依此类推，以5，1循环，
（2020﹣2）÷2＝1010，
即输出的结果是1
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥
【答案】A
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
15．已知x＝2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．
【解析】把x＝2代入分式方程得：k2-1＝1，
解得：k＝4．
16．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A．（0，23） B．（2，﹣4）
C．（23，0） D．（0，23）或（0，﹣23）
【答案】D
【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．
根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO=42-22=23=OC，
∴点C的坐标为（0，-23），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，23），
∴点C的坐标为（0，23）或（0，-23）.
二、填空题（共3小题，每题4分，满分12分）
17．计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1=_______
【答案】8
【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
原式＝5﹣1+2×12+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18．若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ．
【答案】﹣2．
【解析】x-1x+1
=x(x+1)-1x+1
=x2+x-1x+1，
∵x2+3x＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣3x，
∴原式=-1-3x+x-1x+1=-2x-2x+1=-2(x+1)x+1=-2，
19．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为______
【答案】71313
【解析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC＝3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313
三、解答题（共7小题，满分66分）
20．（6分）计算：
【答案】．
【解析】先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
原式
．
21．（10分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
22.（9分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，
【解析】（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
（2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
（4）根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝
【点拨】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
23．（9分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【解析】（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE=AD2+DE2=9+4=13，
∴BD=13；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF=AFAC，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×32=32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×12=12，
FD＝CD﹣CF＝2-12=32，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，
∴AD=3．
24.（10分）
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-2x<3，解集在数轴上表示见解析.
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x-2.
所以原不等式组解集为-2x<3.
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
25．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．
26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
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