初中数学中考复习 专题13 常见解题方法-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学解题方法

专题13 中考中常见解题方法

1、配方法

配方：就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例1：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到(　　)

A．(x+2) 2=5    B．(x－2) 2=5    C．(x－2) 2=3    D．(x+2) 2=3

【点睛】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。

【详解】将方程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=－1，

配方得：x2+4x+4=－1+4，

即(x+2) 2=3；

因此选D。

2、因式分解法

因式分解：就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例2：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（　　）

A．-2    B．2    C．0    D．1

【点睛】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【详解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，

∴m=2；

因此选B。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例3：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（　　）
A．-5或1           B．1           C．5           D．5或-1
【点睛】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单
【详解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得
　　  (t+1)(t+3)=8，化简得：
　　  (t+5)(t-1)=0，
　　  解得：t1=-5，t2=1
　　  又t≥0
　　  ∴t=1
　　  ∴x2+y2的值为只能是1．
　　  因此选B．

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

注意：①△=b2-4ac＜0，方程无实数根，即无解；②△=b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；③△=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根。
例4：当为什么值时，关于的方程有实根。

【点睛】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。

【详解】当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；

当≠0即时，方程有根的条件是：

△＝≥0，解得≥

∴当≥且时，方程有实根。

综上所述：当≥时，方程有实根。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
例5：已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

【点睛】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【详解】 函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R，  由已知得y－m≠0

∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0  即：  y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0  ①

不等式①的解集为(-1，7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

代入两根得：  解得：或

∴ y＝或者y＝

此题也可由解集(-1，7)而设(y＋1)(y－7)≤0，即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
例6：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC

【点睛】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。

【详解】延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F ， 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形，因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB，即AB＋BD＝AC。

7、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
    反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

例7：若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)

A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

【点睛】　对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．

【答案】B

8、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

例8：如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC。

证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。

因为△ACD、△BCE都是等边三角形，

所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

所以∠ACE=∠DCB

所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

可得CP=CQ

所以OC平分∠AOB

即∠AOC=∠BOC

9、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

（1）平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。

一般有2种方法：

①平移已知条件

②平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。

例 ：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD＝CE，求证：AB+AC＞AD+AE．

（这是典型的平移条件问题）

【详解】我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件 。

设AB与FD交于P
这样，容易构造两个全等的三角形 AEC，FBD 由于 
PA+PD大于 AD
PF+PB大于 BF 
两式相加  PA+PB+PD+PF大于AD+BF
又因为BF= AE，AC= FD
所以AB+AC大于AD+AE

2.旋转变换   把平面图形绕旋转中心，旋转一个定角，使分散的条件集中在一起.

例：如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90，M，N为斜边BC上两点且∠MAN=45，求证:BM2+CN2=MN2

【详解】要证BM2+CN2=MN2，容易想到勾股定理.但是BM，CN，MN都不在同一个三角形上，所以，我们就设法将BM，CN，MN移到同一三角形上。考虑到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到△ACD ，则△NCD为直角三角形

只需证明MN=ND即可
因为∠MAN=45，所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45
又因为AM=AD
所以△AND≌△AMN
所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND2=NC2+DC2，所以BM2+CN2=MN2

3.对称变换  通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。
 当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。

例：△ABC中，∠BAC=90， △ACD为等边三角形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA。

【详解】由对称可知，△BAE全等于△BAD ，DE⊥AB，

 所以BE=BD，AE=AD， ∠ABE=∠ABD
 因为∠DBC=2∠DBA 所以∠DBC=∠DBE
 在BC上取点F，使BF=BE
 又因为∠BAC=90 ，DE⊥AB
 所以DE∥BC ，∠ADE=∠DAC=60
 所以ADE是等边三角形
 DE=AD=DC
 因为EF关于BD对称
 所以DF=DE=DC ，BF=BE=BD，
 设∠DBA=a 则∠DBF=2a
 因为BF=BD，所以∠BFD=（180-2a）/2=90-a
 由于DF=DC ，所以∠DCF=90-a
 ∠ACB=180-60-（90-a）=30+a
 因为∠ABC+∠ACB=90，即 a+2a+30+a=90 ，a=15
所以∠DBA=a=15